Étude de la coquille d’un nautile

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Étude de la coquille d’un nautile

matT_1606_01_00C_03

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O;u, v).

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes zk=(1+kn)ei2kπn et on note Mk le point d’affixe zk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0  k  n.

Par exemple, pour les entiers = 6, = 10 et = 20, on obtient les figures ci-dessous :

matT_1606_01_00C_04

Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que = 6.

Ainsi, pour 0  k  6, on a zk=(1+k6)ei2kπ6.

▶ 1. Déterminer la forme algébrique exacte de z1.

▶ 2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l’on déterminera.

▶ 3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0 M1, puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 7324.

Partie B : Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

▶ 1. Pour tout entier k tel que 0  k  n, déterminer la longueur OMk.

▶ 2. Pour k entier tel que 0  k  n − 1, déterminer une mesure des angles (uOMk) et (uOMk+1).

En déduire une mesure de l’angle (OMkOMk+1).

▶ 3. Pour k entier tel que 0  k  n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle OMk Mk+1 est égale à (1+k+1n)×sin(2πn).

▶ 4. On admet que l’aire du triangle OMk Mk+1 est égale à ak=12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n) et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à A= a0 + a1 + … + an−1.

L’algorithme suivant permet de calculer l’aire An lorsqu’on entre l’entier :

Variables

A est un nombre réel

k est un entier

n est un entier

Traitement

Lire la valeur de n

A prend la valeur 0

Pour k allant de 0 à n −1

A prend la valeur A+12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n)

Fin Pour

Sortie

Afficher A

On entre dans l’algorithme = 10

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

▶ 5. On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que limn+An=7π37,3.

Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l’algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An  7,2. On ne demande pas de déterminer n.

L1

Variables

A est un nombre réel

L2

k est un entier

L3

n est un entier

L4

Traitement

n prend la valeur 2

L5

A prend la valeur 0

L6

Tant que ………

L7

n prend la valeur n + 1

L8

A prend la valeur 0

L9

Pour k allant de 0 à n – 1

L10

A prend la valeur A+12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n)

L11

Fin Pour

L12

Fin Tant que

L13

Sortie

Afficher …………

Les clés du sujet

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans le plan • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Forme algébrique  E16  Partie A, 1., 2. et 3.

Module  E18  Partie A, 3. ; Partie B, 1.

Argument  E19a • E19c • E19d  Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 2. et 3.

Forme exponentielle  E21a • E21b  Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 1.

Applications en géométrie  E22  Partie A, 3. ; Partie B, 1., 2. et 3.

Nombres complexes et calculatrice  C4  Partie A

Suites et algorithme type  A4  Partie B, 5.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Appelez H1 le pied de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0M1. Établissez le lien entre la distance H1M1 et la partie imaginaire de z1. Concluez.

Partie B

 1. Calculez le module du nombre complexe zk.

 2. Pensez à utiliser la relation de Chasles.

Corrigé

Corrigé

partie a : ligne brisée formée à partir de sept points

▶ 1. Déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe

D’après l’énoncé, en remplaçant k par 1, nous avons : z1=(1+16)ei2×1×π6=76×eiπ3.

Par notation (forme exponentielle), il s’ensuit que : z1=76×(cos(π3)+isin(π3)).

Enfin, en utilisant le tableau des valeurs usuelles, nous avons :

z1=76×(12+i32)=712+i7312.

La forme algébrique du nombre complexe z1 est 712+i7312.

▶ 2. Vérifier la nature d’un nombre

Similairement à la question précédente, nous avons :

z0=(1+06)×ei2×0×π6=ei×0=cos(0)+isin(0)=1+i×0=1 ;

z6=(1+66)×ei2×6×π6=2×ei×2π=2×(cos(2π)+isin(2π))=2×(1+i×0)=2.

Les nombres complexes z0 et z6 sont des entiers.

▶ 3. Calculer l’aire d’un triangle

Dans le triangle OM0M1 appelons H1 le pied de la hauteur issue du sommet M1.

matT_1606_01_00C_14

Notez bien

Aire(triangle)=Base×Hauteur2.

L’aire de ce triangle est par conséquent égale à OM0×H1M12.

La longueur de la « hauteur » issue de M1 correspond à la distance H1M1 qui n’est rien d’autre que la partie imaginaire du nombre complexe z1. Par suite, d’après la première question de cette partie, H1M1=Im(z1)=7312.

La distance OM0 est le module du nombre complexe z0. Ainsi, d’après la deuxième question de cette partie, OM0=|z0|=|1|=1.

Donc l’aire du triangle OM0M1 est 12(1×7312)=7324.

partie b : ligne brisée formée à partir de n + 1 points

▶ 1. Calculer le module d’un nombre complexe

Soit k un entier tel que 0kn. La distance OMk est égale au module du nombre complexe zk. Il en découle que :

Notez bien

Pour tout réel z>0, |z|=z. Pour tout réel θ, |eiθ|=1.

OMk=|zk|=|(1+kn)ei2kπn|=|1+kn|×|ei2kπn|=1+kn.

La longueur OMk est égale à 1+kn.

▶ 2. Déterminer une mesure d’un angle orienté

Soit k un entier tel que 0kn1.

Une mesure de l’angle orienté (u,OMk) est un argument du nombre complexe non nul zk. Comme zk=(1+kn)ei2kπn, nous avons :

(u,OMk)=arg(zk)=arg(ei2kπn)=2kπn.

De même, (u,OMk+1)=arg(zk+1)=2(k+1)πn.

Par la relation de Chasles, nous avons :

(OMk,OMk+1)=(OMk,u)+(u,OMk+1)                      =(u,OMk)+(u,OMk+1)                      =2kπn+2(k+1)πn                     =2πn.

Une mesure de l’angle (OMk,OMk+1) est 2πn.

▶ 3. Déterminer une longueur

Soit k un entier tel que 0kn1.

Dans le triangle OMkMk+1, appelons Hk+1 le pied de la hauteur issue du sommet Mk+1.

matT_1606_01_00C_15

Dans le triangle rectangle OHk+1Mk+1, nous avons : sin((OHk+1,OMk+1))=Hk+1Mk+1OMk+1.

Or, les points O, Hk+1 et Mk étant alignés, nous avons : (OHk+1,OMk+1)=(OMk,OMk+1) [2π].

Mais, d’après la deuxième question de cette partie, une mesure de (OMk,OMk+1) est 2πn. De plus, d’après la première question de cette partie, la longueur OMk+1 est égale à 1+k+1n.

Il s’ensuit que sin(2πn)=Hk+1Mk+11+k+1n et donc la longueur de la « hauteur » issue de Mk+1 dans le triangle OMkMk+1, à savoir la distanceHk+1Mk+1, est (1+k+1n)sin(2πn).

Remarque. Le cas n=2 est implicitement exclu de cette étude. Dans ce cas, la coquille d’un nautile est modélisée par la ligne brisée reliant les points M0, M1 et M2 d’affixes respectives z0=1,z1=1,5 et z2=2. Ces points sont alignés sur l’axe des réels et les triangles à considérer sont ainsi aplatis. L’aire totale délimitée par cette ligne brisée est ainsi égale à zéro, ce qui est admis à la question 5.

▶ 4. Dérouler un algorithme

La valeur 10 a été saisie pour la variable n au début de la phase de traitement. La variable k prend alors toutes les valeurs entières comprises entre 0 et 101=9. Pour chacune de ces valeurs, la valeur de la variable A est mise à jour. En particulier, il est ajouté à sa valeur précédente le réel 12×sin(2π10)×(1+k10)×(1+k+110).

Notez bien

N’oubliez pas de mettre votre calculatrice en mode « radians ».

Pour k=8. D’après le tableau donné dans l’énoncé, A a pris la valeur 4,726 à l’étape précédente. Par suite, A prend la valeur :4,726+12×sin(2π10)×(1+810)×(1+910)4,726+1,005=5,731.

Pour k=9.A a pris la valeur 5,731 à l’étape précédente (valeur approchée au millième). Par suite, A prend la valeur :

5,731+12×sin(2π10)×(1+910)×(1+1010)5,731+1,1176,848.

Le tableau ainsi complété est le suivant :

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

5,731

6,848

▶ 5. Compléter un algorithme

Cet algorithme permet de déterminer l’indice à partir duquel tous les termes de la suite implicitement croissante (An) sont supérieurs ou égaux au réel 7,2. Pour ce faire, il doit calculer successivement chaque terme An de cette suite tant que la valeur obtenue est inférieure à 7,2.

La ligne 6 est par suite : « Tant que A<7,2 ». Une fois que cette condition n’est plus vraie, la dernière valeur prise par la variable n est l’indice recherché. Dans la phase de sortie, la ligne 13 est alors : « Afficher n ».