Étude de la coquille d’un nautile

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Afrique

Afrique • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Étude de la coquille d’un nautile

matT_1606_01_00C_03

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct (Ou, v).

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes zk=(1+kn)ei2kπn et on note Mk le point d’affixe zk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0  k  n.

Par exemple, pour les entiers = 6, = 10 et = 20, on obtient les figures ci-dessous :

matT_1606_01_00C_04

Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que = 6.

Ainsi, pour 0  k  6, on a zk=(1+k6)ei2kπ6.

▶ 1. Déterminer la forme algébrique exacte de z1.

▶ 2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l’on déterminera.

▶ 3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0 M1, puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 7324.

Partie B : Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

▶ 1. Pour tout entier k tel que 0  k  n, déterminer la longueur OMk.

▶ 2. Pour k entier tel que 0  k  n − 1, déterminer une mesure des angles (uOMk) et (uOMk+1).

En déduire une mesure de l’angle (OMkOMk+1).

▶ 3. Pour k entier tel que 0  k  n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle OMk Mk+1 est égale à (1+k+1n)×sin(2πn).

▶ 4. On admet que l’aire du triangle OMk Mk+1 est égale à ak=12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n) et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à A= a0 + a1 + … + an−1.

L’algorithme suivant permet de calculer l’aire An lorsqu’on entre l’entier :

Variables

A est un nombre réel

k est un entier

n est un entier

Traitement

Lire la valeur de n

A prend la valeur 0

Pour k allant de 0 à n −1

A prend la valeur A+12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n)

Fin Pour

Sortie

Afficher A

On entre dans l’algorithme = 10

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

▶ 5. On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que limn+An=7π37,3.

Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l’algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An  7,2. On ne demande pas de déterminer n.

L1

Variables

A est un nombre réel

L2

k est un entier

L3

n est un entier

L4

Traitement

n prend la valeur 2

L5

A prend la valeur 0

L6

Tant que ………

L7

n prend la valeur n + 1

L8

A prend la valeur 0

L9

Pour k allant de 0 à n – 1

L10

A prend la valeur A+12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n)

L11

Fin Pour

L12

Fin Tant que

L13

Sortie

Afficher …………

Les clés du sujet

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans le plan • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Forme algébrique  E16  Partie A, 1., 2. et 3.

Module  E18  Partie A, 3.  Partie B, 1.

Argument  E19a • E19c • E19d  Partie A, 1. et 2.  Partie B, 2. et 3.

Forme exponentielle  E21a • E21b  Partie A, 1. et 2.  Partie B, 1.

Applications en géométrie  E22  Partie A, 3.  Partie B, 1., 2. et 3.

Nombres complexes et calculatrice  C4  Partie A

Suites et algorithme type  A4  Partie B, 5.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Appelez H1 le pied de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0M1. Établissez le lien entre la distance H1M1 et la partie imaginaire de z1. Concluez.

Partie B

 1. Calculez le module du nombre complexe zk.

 2. Pensez à utiliser la relation de Chasles.

Pour lire la suite :