Étude de la dépense des ménages en programmes audiovisuels

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude de la dépense des ménages en programmes audiovisuels
 
 

Analyse • Intégration

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1306_07_04C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

Dans cet exercice, on étudie l’évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos…).

On note  la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année .

 

Année

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

0

1

2

3

4

5

6

7

4,95

5,15

5,25

5,4

5,7

6,3

6,55

6,9

 
 

Année

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

8

9

10

11

12

13

14

15

7,3

7,75

7,65

7,79

7,64

7,82

7,89

8,08

 

Soit la fonction définie, pour tout nombre réel , par :

.

Pour tout entier  vérifiant , on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année  par le nombre .

>1. Calculer . (0,5 point)

>2. Déterminer le pourcentage  de l’erreur commise en remplaçant  par .

(Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul :

et le résultat sera donné à 0,1 % près). (1 point)

>3. En utilisant la fonction , quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l’année 2013 ? (1,25 point)

(On arrondira le résultat au centième de milliard d’euros).

>4. On veut utiliser la fonction  pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.

On calcule pour cela

a) Déterminer une primitive  de la fonction  sur l’intervalle [0 ; 20]. (1 point)

b) Calculer (1,25 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Primitive • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

>3., donc la dépense totale pour l’année 2013 peut être estimée, en milliards d’euros, par .

>4.b) Utilisez la primitive de  déterminée à la question précédente.

Corrigé

>1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction

Pour tout nombre réel , , donc :

>2. Calculer le pourcentage de l’erreur commise lors d’une approximation

Le pourcentage de l’erreur commise en remplaçant par est :

Donc l’erreur commise en remplaçantD5parf(5) est environ 3,2 %.

>3. Faire une estimation à l’aide d’une modélisation par une fonction

, donc la dépense totale pour l’année 2013 peut être estimée par

au centième près.

Donc la dépense totale en 2013 peut être estimée, au centième de milliard d’euros près, à 5,78 milliards d’euros.

>4.a) Déterminer une primitive d’une fonction polynôme

, donc une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20] est la fonction définie sur [0 ; 20] par :

b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

 

Notez bien

est la valeur moyenne de  sur l’intervalle [0 ; 20].

 

Notez bien

, donc l’année 2015 correspond à .

La dépense moyenne des ménages entre le 1erjanvier 1995 et le 1erjanvier 2015 est donc égale à 6,6 milliards d’euros.