Analyse • Intégration
Corrigé
18
Ens. spécifique
matT_1306_07_04C
France métropolitaine • Juin 2013
Exercice 4 • 5 points
Dans cet exercice, on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos…).
On note 
la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 
.
| Année | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 4,95 | 5,15 | 5,25 | 5,4 | 5,7 | 6,3 | 6,55 | 6,9 |
| Année | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|
| 7,3 | 7,75 | 7,65 | 7,79 | 7,64 | 7,82 | 7,89 | 8,08 |
Soit 
la fonction définie, pour tout nombre réel 
, par :
.
Pour tout entier 
vérifiant 
, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année 
par le nombre 
.
. (0,5 point)
de l'erreur commise en remplaçant 
par 
.
(Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul :
et le résultat sera donné à 0,1 % près). (1 point)
, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (1,25 point)
(On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros).
pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1er janvier 1995 et le 1er janvier 2015.
On calcule pour cela 
de la fonction 
sur l'intervalle [0 20]. (1 point)
(1,25 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Primitive • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
, donc la dépense totale pour l'année 2013 peut être estimée, en milliards d'euros, par 
.
déterminée à la question précédente.
> 1. Calculer l'image d'un nombre par une fonction
Pour tout nombre réel 
, 
, donc :
> 2. Calculer le pourcentage de l'erreur commise lors d'une approximation
Le pourcentage de l'erreur commise en remplaçant 
par 
est :
> 3. Faire une estimation à l'aide d'une modélisation par une fonction
, donc la dépense totale pour l'année 2013 peut être estimée par 
au centième près.
> 4. a) Déterminer une primitive d'une fonction polynôme
, donc une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 20] est la fonction 
définie sur [0 20] par :
b) Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Notez bien
est la valeur moyenne de 
sur l'intervalle [0 20].
Notez bien
, donc l'année 2015 correspond à 
.