Étude de la production et de la vente de clés USB et contrôle de qualité

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Étude de la production et de la vente de clés USB et contrôle de qualité

Intervalle de fluctuation • Estimation

matT_1311_03_05C

Ens. spécifique

31

CORRIGE

Amérique du Sud • Novembre 2013

Exercice 1 • 5 points

Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l’entreprise.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)

>1. La direction de l’entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux.

Affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. »

>2. La production mensuelle varie entre 0 et 10 000 clés.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.

Affirmation 2a : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. »

Affirmation 2b : « Lorsque l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. »

Affirmation 2c : « Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. »

>3. Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de 4 000 clés. Parmi ces clés, 210 sont défectueuses.

Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.

Affirmation 3 : « À l’issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. »

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Variations d’une fonction • Valeur moyenne d’une fonction • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

>1. Les pourcentages ne peuvent pas être additionnés. Utilisez les coefficients multiplicateurs, déterminez le coefficient multiplicateur global correspondant à la diminution du budget sur 5 ans.

>2. c) Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

Corrigé
Corrigé

>1. Étudier des diminutions successives d’un budget

, donc diminuer une quantité de 6 % revient à la multiplier par 0,94.

(0,94 est le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 6 %.)

Notez bien

Dans le cas de plusieurs évolutions successives en pourcentage, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs.

Puisque le budget diminue de 6 % par an pendant 5 ans, il est globalement multiplié par 0,945.

Or et  ; suite à la diminution de 6 % par an pendant 5 ans, le budget diminue globalement d’environ 26,6 %.

L’affirmation1.est fausse.

>2. Étudier le bénéfice d’une entreprise produisant des clés USB

Pour milliers de clés produites et vendues, le bénéfice, en milliers d’euros, est :

On détermine les solutions de l’équation Le discriminant est . Les solutions sont et .

Si l’entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, alors .

D’après les résultats sur le signe d’un trinôme vus en première, si un trinôme possède deux racines et si est compris entre ces deux racines, alors est du signe de , où est le coefficient de . Ici , donc est positif si est compris entre 1 et 9.

L’affirmation2. a)est vraie.

Info

L’étude des variations de la fonction permet de retrouver la réponse à la question 2. a) :

, est croissante sur [1 ; 5] et décroissante sur [5 ; 9], donc si est compris entre 1 et 9, alors est positif.

Si l’entreprise produit et vend 5 000 clés USB, alors .

On étudie les variations de la fonction sur l’intervalle [0 ; 10].

.

Donc , sur [0 ; 5[, sur ]5 ; 10].

Sur [0 ; 10], la fonction atteint donc son maximum en .

L’affirmation2. b)est vraie.

Le bénéfice mensuel moyen (en milliers d’euros) lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés est la valeur moyenne de la fonction B entre 2 et 8, c’est-à-dire :

La fonction a pour primitive la fonction définie par :

.

D’où :

Lorsque l’entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est donc égal à 13 000 euros.

L’affirmation2. c)est vraie.

> 3. Déterminer et utiliser un intervalle de confiance dans le cadre d’un contrôle de qualité

Si est la taille de l’échantillon, et la fréquence de clés défectueuses dans cet échantillon, alors l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % est approximativement .

Ici, et , donc l’intervalle de confiance est approximativement [0,0367 ; 0,0684].

La borne supérieure de cet intervalle de confiance est approximativement 0,0684, ce qui correspond à 6,84 %. Elle ne dépasse pas 7 %, et le directeur des ventes ne devra pas stopper la chaîne de fabrication.

L’affirmation3.est fausse.