Intervalle de fluctuation • Estimation
matT_1311_03_05C
Ens. spécifique
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CORRIGE
Amérique du Sud • Novembre 2013
Exercice 1 • 5 points
Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise.
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. (1 point par question)
Affirmation 1 : « Diminuer ce budget de 6 % par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30 % sur la période de 5 ans. »
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction 
définie sur l'intervalle [0 10] par :
où 
représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
Affirmation 2a : « Lorsque l'entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, le bénéfice est positif. »
Affirmation 2b : « Lorsque l'entreprise produit et vend 5 000 clés USB, le bénéfice mensuel est maximal. »
Affirmation 2c : « Lorsque l'entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à 78 000 euros. »
Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, dépasse 7 %.
Affirmation 3 : « À l'issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication. »
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Variations d'une fonction • Valeur moyenne d'une fonction • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
> 1. Étudier des diminutions successives d'un budget
, donc diminuer une quantité de 6 % revient à la multiplier par 0,94.
(0,94 est le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 6 %.)
Notez bien
Dans le cas de plusieurs évolutions successives en pourcentage, le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs.
Puisque le budget diminue de 6 % par an pendant 5 ans, il est globalement multiplié par 0,945.
Or 
et 
suite à la diminution de 6 % par an pendant 5 ans, le budget diminue globalement d'environ 26,6 %.
> 2. Étudier le bénéfice d'une entreprise produisant des clés USB
Pour 
milliers de clés produites et vendues, le bénéfice, en milliers d'euros, est :
On détermine les solutions de l'équation 
Le discriminant est 
. Les solutions sont 
et 
.
Si l'entreprise produit et vend entre 1 000 et 9 000 clés USB, alors 
.
D'après les résultats sur le signe d'un trinôme vus en première, si un trinôme 
possède deux racines et si 
est compris entre ces deux racines, alors 
est du signe de 
, où 
est le coefficient de 
. Ici 
, donc 
est positif si 
est compris entre 1 et 9.
Info
L'étude des variations de la fonction 
permet de retrouver la réponse à la question 2. a) :
, 
est croissante sur [1 5] et décroissante sur [5 9], donc si 
est compris entre 1 et 9, alors 
est positif.
Si l'entreprise produit et vend 5 000 clés USB, alors 
.
On étudie les variations de la fonction 
sur l'intervalle [0 10].
.
Donc 
, 
sur [0 5[, 
sur ]5 10].
Sur [0 10], la fonction 
atteint donc son maximum en 
.
Le bénéfice mensuel moyen (en milliers d'euros) lorsque l'entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés est la valeur moyenne de la fonction B entre 2 et 8, c'est-à-dire :
La fonction 
a pour primitive la fonction 
définie par :
.
D'où :
Lorsque l'entreprise produit et vend entre 2 000 et 8 000 clés USB, son bénéfice mensuel moyen est donc égal à 13 000 euros.
> 3. Déterminer et utiliser un intervalle de confiance dans le cadre d'un contrôle de qualité
Si 
est la taille de l'échantillon, et 
la fréquence de clés défectueuses dans cet échantillon, alors l'intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % est approximativement 
.
Ici, 
et 
, donc l'intervalle de confiance 
est approximativement [0,0367 0,0684].
La borne supérieure de cet intervalle de confiance est approximativement 0,0684, ce qui correspond à 6,84 %. Elle ne dépasse pas 7 %, et le directeur des ventes ne devra pas stopper la chaîne de fabrication.