Étude de la rentabilité d’appartements à louer

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Étude de la rentabilité d’appartements à louer

Intervalle de fluctuation • Estimation

matT_1405_02_11C

Ens. spécifique

29

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 2 • 6 points

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l’objectif de le louer. Pour cela, il s’intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à .

partie a

On considère deux types d’appartements :

  • les appartements d’une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;
  • les appartements de plus de deux pièces.

Une étude des dossiers d’appartements loués dans un secteur a montré que :

  • 35 % des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;
  • 45 % des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;
  • 30 % des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.

On choisit un dossier au hasard et on considère les événements suivants :

 : « l’appartement est de type T1 ou T2 » ;

 : « l’appartement en location est rentable » ;

est l’événement contraire de et est l’événement contraire de .

>1. Traduire cette situation par un arbre pondéré. (1 point)

>2. Montrer que la probabilité qu’un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525. (1 point)

>3. Calculer la probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable. (1 point)

partie b

On considère la variable aléatoire égale au nombre d’appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d’écart-type .

À l’aide de la calculatrice :

>1. Calculer la probabilité . (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité qu’au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables. (0,75 point)

partie c

L’investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements loués par son agence sont rentables.

Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d’appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

>1. Déterminer la fréquence observée sur l’échantillon prélevé. (0,5 point)

>2. Peut-on valider l’affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %. (1,25 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Utilisez le fait que et forment une partition de l’univers : un appartement loué est, soit de type T1 ou T2, soit de plus de deux pièces.

>3. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Partie C

>2. La décision de valider ou non l’affirmation du responsable dépend de l’appartenance ou non de la fréquence observée sur l’échantillon à l’intervalle de fluctuation considéré.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré


>2. Calculer une probabilité associée à une partition de l’univers

et constituent une partition de l’univers, donc la probabilité qu’un appartement loué soit rentable est :

.

D’après l’arbre :

.

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable est . D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, étant non nul :

.

D’où, en arrondissant à  :

partie b

Info

On peut obtenir une approximation de ce résultat en utilisant les résultats du cours.

En effet, et on sait que :

Par symétrie : .

>1. Déterminer à l’aide de la calculatrice une probabilité associée à une loi normale

D’après la calculatrice :

>2. Déterminer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité qu’au moins 45 appartements soient rentables est :

.

Or, d’après les propriétés de la loi normale, .

Donc

D’où :

partie c

>1. Déterminer la fréquence observée sur un échantillon

Notez bien

Cela signifie qu’environ 42,86 % des appartements de l’échantillon sont rentables.

Sur l’échantillon prélevé, la fréquence des appartements rentables est :

>2. Prendre une décision en utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique

Pour une proportion dans la population supposée égale à , un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée dans un échantillon de taille est :

,

sous réserve que .

Ici (taille de l’échantillon) et (proportion d’appartements rentables affirmée par le responsable de l’agence), donc les conditions sont remplies.

Attention !

La borne gauche a été arrondie par défaut, la borne droite par excès.

Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour les échantillons de taille est :

Info

Le risque d’erreur au cas où, comme ici, on remet en cause l’hypothèse faite sur la proportion, est le risque de rejeter à tort.

, donc au risque d’erreur de 5 %, on rejette l’affirmation du responsable de l’agence, on ne la valide pas.