Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Étude de poussières
par un spectromètre
de masse à temps de vol

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

Comprendre

pchT_1200_00_15C

Sujet inédit

Exercice • 5,5 points

La sonde Cassini, lancée en 1997, fournit depuis 2004 des données incomparables sur le système de Saturne. Elle contient notamment le Cosmic Dust Analyzer (CDA) chargé d'y analyser les poussières.

On étudie ici la calibration d'un spectromètre de masse appelé spectromètre à temps de vol (TOF) de l'analyseur CDA.

Il s'agit ici d'étudier expérimentalement, au laboratoire, la réponse du spectromètre de masse à temps de vol, ou Time Of Flight (TOF) à l'impact de glaces de méthane éventuelles détectées autour de Saturne.

Pour simuler la présence de ces glaces, du méthane gazeux est condensé, pour former un dépôt solide, sur une cible à base de fer, en contact avec du diazote liquide à 77 K.

Le spectromètre TOF utilise un faisceau laser, de longueur d'onde dans le vide λ₁, qui bombarde la cible et provoque la création d'ions positifs de vitesse considérée comme nulle. Ces ions sont accélérés entre des grilles G₁ et G₂, puis pénètrent dans une zone sans champ électrique (zone de vol) et atteignent enfin un détecteur. L'objet de l'expérience est de caractériser la réponse des différents ions issus de la glace de méthane.

On considère que les ions évoluent dans le vide et on néglige toute influence de la pesanteur devant les autres forces mises en jeu.

1. Ionisation par laser

1 À quel domaine du spectre électromagnétique les ondes émises par laser de longueur d'onde λ₁ appartiennent-elles ? (0,25 point)

2 Exprimer, en fonction des données, l'énergie E_p d'un photon de cette onde laser. Déterminer sa valeur. (0,25 point)

3 La durée d'impulsion du laser est très brève pour que tous les ions formés « démarrent » en même temps. On note τ la durée d'une impulsion et N le nombre de photons par seconde.

Exprimer l'énergie d'une impulsion E_i.

Calculer sa valeur.

Les données nécessaires sont en fin d'énoncé. (0,5 point)

4 Exprimer en fonction des données la puissance P du laser durant l'impulsion et faire l'application numérique. (0,25 point)

2. Accélération des ions

On note d la distance entre les grilles G₁ et G₂, et U la tension d'accélération appliquée entre ces grilles (voir la figure 1 page suivante). On considère qu'en A les ions émis n'ont pas de vitesse initiale.

Figure 1. Spectromètre à temps de vol

1 Indiquer sur la figure 1 l'orientation du champ $\vec{E}$ en représentant le vecteur correspondant, de façon que les ions soient accélérés vers la plaque G₂ entre les points A et B. Justifier. (0,25 point)

2 Exprimer et calculer numériquement l'intensité E du champ électrique appliqué. (0,25 point)

3 Déterminer la nature du mouvement des ions entre les plaques
G₁ et G₂. (0,5 point)

4 Déterminer l'équation horaire de vitesse et de position de ces ions. En déduire l'expression de la vitesse v_B atteinte en B au niveau de la plaque G₂ en fonction de e, U et m. Que peut-on dire sur l'énergie cinétique de chacun de ces ions ? (0,25 point)

5 Faire l'application numérique des vitesses v_B(H⁺), v_B(C⁺) et v_B(CH₄⁺) des ions H⁺, C⁺ et CH₄⁺. (0,5 point)

6 Exprimer les masses m(H⁺), m(C⁺) et m(CH₄⁺) de ces ions en unité de masse atomique u. Les figures 2a) et 2b) (page suivante) correspondent à deux mesures successives. Identifier sur ces figures les ions présents pour chacune de ces mesures. (0,5 point)

7 Comment peut-on expliquer la présence du pic à 56u ? (0,5 point)

Figure 2. Signaux détectés

3. L'analyseur des ions

1 Décrire en l'expliquant le mouvement des ions en l'absence de champ électrique. Représenter sur le schéma 1 la trajectoire des ions, dans la zone de vol, depuis le point B jusqu'au point C où les ions coupent la grille G₃. (0,25 point)

2 Exprimer littéralement le temps de vol t, mis par les ions pour parcourir la distance entre la grille G₂ et la grille G₃ du détecteur, en fonction de v_B. (0,25 point)

3 Montrer que le temps de vol peut se mettre sous la forme $t = L \sqrt{\frac{m}{2 e U}}$ . Quelle serait l'allure de la courbe t² en fonction de m ? Justifier. (0,25 point)

4 Calculer numériquement les temps de vol respectifs t(H⁺), t(C⁺) et t(CH₄⁺) des ions H⁺, C⁺ et CH₄⁺. (0,25 point)

5 Préciser le principe de cet analyseur. (0,5 point)

Données

Longueur d'onde du laser dans le vide λ₁ = 337 nm

Constante de Planck h = 6,626 × 10^–34 J · s

Célérité de la lumière dans le vide c = 2,998 × 10⁸ m · s^–1

Charge élémentaire : e = 1,602 × 10^–19 C

Tension d'accélération : U = 700 V

Distance d'accélération : d = 50 mm

Durée d'impulsion laser : τ = 4,00 ns

Nombre de photons par seconde du laser : N = 1,23 × 1 023 s^–1

Longueur de la zone de vol : L = 230 mm

Masse des ions : m(H⁺) = 1,6726 × 10^–27 kg

m(C⁺) = 2,0089 × 10^–26 kg m(CH₄⁺) = 2,6783 × 10^–26 kg

Unité de masse atomique : 1 u = 1,6605 × 10^–27 kg.

Cible : m(Fe) = 55,845 ± 0,002u.

Notions et compétences en jeu

Lisez bien l'énoncé et prenez connaissance de l'ensemble des données en fin d'exercice.
Utilisez vos connaissances sur les ondes électromagnétiques.
Appliquez les caractéristiques d'un champ E uniforme, déduisez-en les caractéristiques de la force appliquée à une particule chargée.
Sachez appliquer les lois de Newton pour réaliser une étude cinématique.

Les conseils du correcteur

Recherchez les informations utiles et pertinentes pour bien comprendre le principe de ce dispositif.

1. Ionisation par laser

1 λ₁ = 337 nm est une longueur d'onde du proche ultraviolet.

Attention

Respecter le nombre de chiffres significatifs !

$E_{p} = \frac{h c}{λ_{1}} = \frac{6,662 \times 10^{- 34} \times 2,998 \times 10^{8}}{337 \times 10^{- 9}} = 5,89 \times 10^{- 19} J$

3 E_i =E_p × N × τ

soit E_i = 5,8946 × 10^–19 × 1,23 × 10²³ × 4,00 × 10^–9

E_{_{_i}} = 2,90 × 10^{^–4} J.

4 La puissance d'une impulsion est son énergie par seconde, soit :

$P = \frac{E_{i}}{τ} = E_{p} N$ = 5,8946 × 10^–19 × 1,23 × 10²³= 7,25 × 10⁴ W

soit 72,5 kW, puissance importante qui permettra d'ioniser le méthane.

2. Accélération des ions

1 Les ions doivent être accélérés, ils sont soumis à la force $\vec{F} = q \vec{E} = e \vec{E}$ (on néglige le poids). Comme q =e est positif $\vec{F} et \vec{E}$ ont même direction et même sens, c'est-à-dire orientés de A vers B. Ce qui correspond bien à une tension U_AB =U positive car $\vec{E}$ est dirigé de l'armature positive vers l'armature négative.

2 E = $\frac{U}{d}$ = $\frac{700}{50 \times 10^{- 3}}$ =1,4 × 10^⁴ V · s^{^–1}.

3 Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, les ions sont soumis à la seule force électrostatique. Le poids des ions est négligeable devant la force $\vec{F} = e \vec{E}$ .

En appliquant la deuxième loi de Newton, $\vec{F} = e \vec{E} = \frac{d \vec{p}}{d t} = m \vec{a}$ car la masse est constante au cours du mouvement, soit $\vec{a} = \frac{e \vec{E}}{m}$ . L'accélération est constante, le mouvement est rectiligne uniformément accéléré et s'effectue selon l'axe (Ox) (orienté de A vers B).

4 $\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t}$ . La coordonnée a_x s'écrit a_x = $\frac{e E}{m}$ , soit par intégration, $v_{x} = \frac{e E}{m} t$ avec v₀_x = 0.

Puisque $v_{x} = \frac{d x}{d t}$ , par intégration, $x = \frac{e E}{2 m} t^{2}$ avec x₀ =x_A = 0.

Lorsque l'ion arrive en B alors x_B =d,
soit $d = \frac{e E}{2 m} t^{2}$ ou $t = \sqrt{\frac{2 d m}{e E}}$ .

En reportant dans $v_{x} = \frac{e E}{m} t$ , on a $v_{B} = \frac{e E}{m} \times$ $\sqrt{\frac{2 d m}{e E}} = \sqrt{\frac{2 e E d}{m}} = \sqrt{\frac{2 e U}{m}}$ car E = $\frac{U}{d}$ .

L'énergie cinétique est $E_{c} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} = \frac{1}{2} m \frac{2 e U}{m} = e U$ .

Tous les ions arrivent avec la même énergie mais avec des vitesses différentes fonctions de leur masse.

5 La vitesse dépend de la masse de l'ion $v_{B} = \sqrt{\frac{2 e U}{m}}$

avec (2eU)^½ = (2 × 1,602 × 10^–19 × 700)^½= 1,4976 × 10^–8

soit v_B = 1,4976 × 10^–8 × m^–1/2

v_B(H⁺) = 1,4976 × 10^–8 × (1,6726 × 10^–27)^–½=3,6618 × 10^⁵ m · s^{^–1}.

v_B(C⁺) = 1,4976 × 10^–8 × (2,0089 × 10^–26)^–½=1,0566 × 10^⁵ m · s^{^–1}.

v_B(CH₄⁺) = 1,4976 ×10^–8 × (2,6783 × 10^–26)^–½=9,151 × 10^⁴ m · s^{^–1}.

6 m(H⁺) = 1,6726 × 10^–27/ 1,6605 × 10^–27=1,0073u.

m(C⁺) = 2,0089 × 10^–26/ 1,6605 × 10^–27=12,098u.

m(CH₄⁺) = 2,6783 × 10^–26 / 1,6605 × 10^–27=16,130u.

7 Les figures 2a) et 2b) correspondent à deux mesures successives.

Sur la figure 2a), on voit deux signaux de masses 1u et 12u qui correspondent aux ions H⁺ et C⁺.

Sur la figure 2b), on observe aussi deux signaux pour des masses de 12u et 16u qui correspondent aux ions C⁺ et CH₄⁺. Ainsi on met en évidence la formation des ions issus de l'ionisation du méthane.

Le pic à 56u s'explique par le fait que la cible est en fer, sa masse est proche de 56u. Lors des impulsions laser, le fer est également ionisé en raison de la forte puissance de ce rayonnement. Apparaît alors le pic caractéristique du support de la cible.

3. L'analyseur de vol des ions

1 Le poids des ions est négligeable. En l'absence de champ électrique, la force électrique est nulle. Les ions n'étant soumis à aucune force, leur mouvement est donc rectiligne uniforme d'après la première loi de Newton (principe d'inertie).

2 $v_{B} = \frac{BC}{t}$ . Le temps de vol est donc $t = \frac{BC}{v_{B}} = \frac{L}{v_{B}}$ .

3 $t = \frac{BC}{v_{B}} = \frac{L}{v_{B}}$ avec $v_{B} = \sqrt{\frac{2 e U}{m}}$ soit $t = \frac{L \sqrt{m}}{\sqrt{2 e U}} = L \sqrt{\frac{m}{2 e U}}$ .

En élevant au carré, on obtient $t^{2} = L^{2} \frac{m}{2 e U} = \frac{L^{2}}{2 e U} m$ .

On constate que t² est proportionnel à m donc la représentation de la fonction t² est une droite passant par l'origine.

4 t(H⁺) = $\frac{L}{v_{B} (H^{+})}$ = 0,230/3,6618 × 10⁵ =6,28 × 10^{^–7} s.

t(C⁺) = $\frac{L}{v_{B} (C^{+})}$ = 0,230 / 1,0566 × 10⁵ =2,18 × 10^{^–6} s.

t(CH₄⁺) = $\frac{L}{v_{B} ({CH}_{4}^{+})}$ = 0,230/9,151 × 10⁴ =2,51 × 10^{^–6} s.

5 Les atomes ou molécules sont tout d'abord ionisés comme dans tous les spectromètres de masse. Les ions résultants sont ensuite accélérés par une tension accélératrice. Ils ont alors la même énergie cinétique mais des vitesses différentes. La séparation se fait dans un tube de vol (où il n'y a aucun champ) et on mesure simplement le temps qu'ils mettent pour atteindre un détecteur distant de L, car ce temps au carré est proportionnel à la masse de chaque ion. On détecte un temps qui rend compte de la masse de l'ion.

Pour que ce dispositif fonctionne, il faut que tous les ions « démarrent » en même temps. On provoque une ionisation instantanée, de quelques nanosecondes, avec un laser, répétée un grand nombre de fois pour améliorer la qualité du signal. La qualité de la mesure (résolution…) est d'autant meilleure que les ions de même masse arrivent en même temps sur le détecteur.

Étude de poussières par un spectromètre de masse à temps de vol

1. Ionisation par laser

2. Accélération des ions

3. L'analyseur des ions

Notions et compétences en jeu

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2. Accélération des ions

3. L'analyseur de vol des ions

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