▶ 1. Connaître la signification des données figurant dans un arbre

a) Puisque l'urne contient 3 boules blanches, la probabilité de tirer une boule blanche est $a=\frac{3}{5}$.

b) « Tirer une boule noire » est l'événement complémentaire de « tirer une boule blanche » donc $b=1-a=\frac{2}{5}$.

▶ 2. Interpréter les données de l'énoncé

a) On cherche la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche sachant que la première est blanche. Dans ce cas la composition de l'urne au deuxième tirage est de deux boules blanches et deux boules noires. C'est pourquoi la probabilité cherchée est égale à $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

b) La somme des probabilités portées par les branches d'une même racine vaut 1 donc $c=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

▶ 3. Traduire en probabilités l'énoncé

a) On cherche la probabilité que la deuxième boule tirée soit noire sachant que la première est noire. Dans ce cas la composition de l'urne n'a pas changé au deuxième tirage. C'est pourquoi $e=b=\frac{2}{5}$.

b) Comme précédemment, on a : $d=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.

▶ 4. Analyser un énoncé pour le traduire en termes probabilistes

a) Dans les chemins 3 à 6, on voit que lors des deux premiers tirages on a obtenu une boule blanche et une boule noire. C'est pourquoi, avant d'effectuer le troisième tirage, l'urne contient deux boules blanches et deux boules noires.

Ainsi : $h=i=j=k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

b) Dans les chemins 1 et 2, on voit que les deux premiers triages ont fourni deux boules blanches. Avant d'effectuer le troisième tirage, l'urne contient donc une boule blanche et deux boules noires. C'est pourquoi $f=\frac{1}{3}$ et $g=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

c) Dans les chemins 7 et 8, on voit que les deux premiers triages ont fourni deux boules noires. Avant d'effectuer le troisième tirage, l'urne contient donc trois boules blanches et deux boules noires comme au départ. C'est pourquoi $l=\frac{3}{5}$ et $m=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.

▶ 5. a) Déterminer les valeurs prises par une variable aléatoire

À l'issue des trois tirages il est possible d'obtenir aucune boule blanche (chemin 8), une boule blanche (chemins 4, 6 et 7), deux boules blanches (chemins 2, 3 et 5) ou trois boules blanches (chemin 1). Donc $X(\text{Ω})=\left\{0,1,2,3\right\}$.

b) Résumer une loi de probabilité dans un tableau

Le tableau suivant résume la loi de probabilité de X.

Avec : $\begin{array}{l}P(X=0)=bem;\\ P(X=1)=aci+bdk+bel;\\ P(X=2)=a\times \frac{1}{2}\times g+ach+bdj;\\ P(X=3)=a\times \frac{1}{2}\times f.\end{array}$