Etude de tirages successifs dans une urne

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Succession d’épreuves indépendantes

Étude de tirages successifs dans une urne

45 min

4 points

Intérêt du sujet  Dans ce sujet, on utilise essentiellement les données consignées dans un arbre dont les branches comportent des probabilités variables en fonction des précédentes. Il est donc nécessaire de bien en comprendre la mécanique.

 

Une urne contient trois boules blanches et deux boules noires.

On tire successivement trois boules en remettant la boule après tirage si celle-ci est noire et en ne remettant pas la boule après tirage si celle-ci est blanche. L’arbre ci-dessous, qui est à compléter, modélise la situation ; par exemple le chemin n° 3 est le chemin BNB.

056_matT_2000_00_51C_01

1. a) Calculer a

b) En déduire la valeur de b.

2. a) Justifier la valeur 12 portée par la première branche BB.

b) En déduire la valeur de c.

3. a) Montrer que e=25.

b) En déduire la valeur de d.

4. a) Montrer que h=i=j=k=12.

b) Calculer f et g.

c) Calculer l et m.

5. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage de trois boules associe le nombre de boules blanches obtenues.

a) Montrer que X(Ω)={0,1,2,3}.

b) Déterminer la loi de probabilité de X.

 

Les clés du sujet

1. b) 2. b) et 3. b) Utilisez la somme des probabilités portées par les branches d’une même racine.

2. a) Si la boule d’un tirage est blanche elle est n’est pas remise dans l’urne donc la composition de l’urne change en conséquence au tirage suivant.

3. et 4. Il faut connaître la composition de l’urne lors des tirages précédents.

5. a) Déterminez toutes les valeurs que peut prendre X.

b) Il s’agit de calculer les probabilités des événements {X=k} pour tout kX(Ω).