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Étude de trois fonctions comportant un logarithme

Sujet spécimen 2021 n° 2 • Exercice 4B

Étude de trois fonctions comportant un logarithme

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans la première partie, on étudie une fonction g dans le but de connaître son signe. La fonction f considérée dans la deuxième partie a des variations qui dépendent du signe de cette fonction g. Puis dans la troisième partie, il s'agit d'une fonction F dont on ne connaît pas l'expression algébrique, ce qui n'empêche pas d'en établir quelques propriétés.

 

partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par g(x)=ln(x)+2x2.

1. Déterminer les limites de g en +  et 0.

2. Déterminer le sens de variation de la fonction g sur ]0 ; + [.

3. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α sur ]0 ; + [.

4. Calculer g(1) puis déterminer le signe de g sur ]0 ; + [.

partie B : Étude d'une fonction f

On considère la fonction f, définie sur ]0 ; + [ par :

f(x)=21x(ln(x)1).

1. a) On admet que la fonction f est dérivable sur ]0 ; + [ et on note f′ sa dérivée.

Démontrer que, pour tout x de ]0 ; + [, on a :

f(x)=g(x)x2.

b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; + [. Le calcul des limites n'est pas demandé.

2. Résoudre l'équation f(x)=0 sur ]0 ; + [ puis dresser le tableau de signes de f sur l'intervalle ]0 ; + [.

partie c : Étude d'une fonction F admettant pour dérivée la fonction f

On admet qu'il existe une fonction F dérivable sur ]0 ; + [ dont la dérivée Fest la fonction f. Ainsi, on a F=f.

On note CF la courbe représentative de la fonction F dans un repère orthonormé (; i, j).

On ne cherchera pas à déterminer une expression de F(x).

1. Étudier les variations de F sur ]0 ; + [.

2. La courbe représentative CF de F admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ? Justifier la réponse.

 

Les clés du sujet

Partie A

1. Utilisez les résultats concernant la limite de la somme de deux fonctions.

3. Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, après avoir vérifié les conditions d'application.

Partie B

1. a) Appliquez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

2. On attend une résolution algébrique exacte de l'équation.

Ne confondez pas tableau de signes et tableau de variations.

Partie C

Utilisez les résultats établis dans la partie B en prenant compte du fait que F′ = f.

2. On ne demande pas les équations des tangentes à CF parallèles à l'axe des abscisses.

partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

1. Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition

En +

limx+ln(x)=+ et limx+(2x2)=+, donc par somme :

limx+g(x)=+

En 0

limx0ln(x)= et limx0(2x2)=2, donc par somme :

limx0g(x)=

2. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour tout réel x > 0 :

g(x)=1x+2.

Donc g(x)>sur ]0 ; + [ et g est strictement croissante sur ]0 ; +[.

3. Montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle donné

La fonction g est continue et strictement croissante sur ]0 ; + [, limx0g(x)= et limx+g(x)=+.

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit le réel k, l'équation g(x)=k admet une unique solution sur ]0 ; + [.

En particulier, l'équation g(x)=0 admet une unique solution, notée α, sur ]0 ; +[.

4. Déterminer le signe d'une fonction sur un intervalle

g(1)=ln(1)+22, donc g(1)=0.

1 est donc l'unique solution α de l'équation g(x)=0 sur ]0 ; + ∞[ et la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

D'où son signe :

si x g(x)g(1), donc g est strictement négative sur ]0 ; 1[ ;

g(1)=0 ;

si x > 1, alors g(x)>g(1), donc g est strictement positive sur ]1 ; +[.

partie B : Étude d'une fonction f

1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x appartenant à ]0 ; + [ :

f(x)=1x2×(ln(x)1)+21x×1x=1x2×(ln(x)1) + 2x1x2=1x2(ln(x)1+2x1)=1x2(ln(x)+2x2).

On a donc :

f(x)=g(x)x2

b) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

x2>0 pour tout x dans ]0 ; + [, donc f(x) a le signe de g(x).

Ce signe a été étudié à la partie A :

si x f(x)0 et f est strictement décroissante sur ]0 ; 1[ ;

f(1)=0 ;

si x > 1, alors f(x)>0 et f est strictement croissante sur ]1 ; + [.

On peut dresser le tableau suivant :

Tableau de 3 lignes, 9 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; ; 1; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; ; ; ; -; 0; +; ; Ligne 3 : Variations de f; ; ; ; ; ; ; ; ;

2. Résoudre une équation associée à une fonction

f(x)=0 équivaut à 1x=2 ou ln(x)=1, soit x=12 ou x = e.

L'équation f(x)=0 a donc deux solutions sur ]0 ; + [.

Du tableau de variations précédent, on peut déduire le tableau de signes suivant :

Tableau de 2 lignes, 10 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; 12; ; e; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f(x); ; ; ; +; 0; -; 0; +; ;

partie C : Étude d'une fonction F admettant pour dérivée la fonction f

1. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

info +

La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle ]0 ; + [.

Le signe de f(x) a été étudié à la partie B.

On en déduit que :

sur ; 12, F(x)0, F est croissante ;

sur 12 ; e, F(x)0, F est décroissante ;

sur [e ; +[, F(x)0, F est croissante.

2. Déterminer des tangentes de direction donnée

rappel

Le coefficient directeur de la tangente à CF au point d'abscisse a est F(a).

Par ailleurs, une droite est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur est égal à 0.

La tangente à CF au point d'abscisse a est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si F(a)=0, c'est-à-dire f(a)=0.

D'après la question 2. de la partie B, l'équation f(x)=0 admet deux solutions : 12 et e.

La courbe CF admet donc deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, aux points d'abscisses 12 et e.

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