partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

▶ 1. Déterminer les limites d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition

En + ∞

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\ln (x)=+\text{∞}$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }(2x-2)=+\text{∞}$, donc par somme :

$\boxed{\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }g(x)=+\text{∞}}$

En 0

$\underset{x\to 0}{\lim }\ln (x)=-\text{∞}$ et $\underset{x\to 0}{\lim }(2x-2)=-2$, donc par somme :

$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=-\text{∞}}$

▶ 2. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour tout réel x > 0 :

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2$.

Donc $g^{\prime }(x)>\text{0 }$sur ]0 ; + ∞[ et g est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

▶ 3. Montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle donné

La fonction g est continue et strictement croissante sur ]0 ; + ∞[, $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$.

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit le réel k, l'équation $g(x)=k$ admet une unique solution sur ]0 ; + ∞[.

En particulier, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution, notée $\text{α}$, sur ]0 ; + ∞[.

▶ 4. Déterminer le signe d'une fonction sur un intervalle

$g(1)=\ln (1)+2-2$, donc $g(1)=0$.

1 est donc l'unique solution α de l'équation $g(x)=0$ sur ]0 ; + ∞[ et la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

D'où son signe :

si x  1, alors $g(x)g(1)$, donc g est strictement négative sur ]0 ; 1[ ;

$g(1)=0$ ;

si x > 1, alors $g(x)>g(1)$, donc g est strictement positive sur ]1 ; + ∞[.

partie B : Étude d'une fonction f

▶ 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x appartenant à ]0 ; + ∞[ :

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}\times (\ln (x)-1)+\left(2-\frac{1}{x}\right)\times \frac{1}{x}\\ =\frac{1}{x^2}\times (\ln (x)-1)+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\\ =\frac{1}{x^2}\text{(}\ln (x)-1+2x-1\text{)}\\ =\frac{1}{x^2}\text{(}\ln (x)+2x-2\text{)}.\end{array}$

On a donc :

$\boxed{f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x^2}}$

b) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

$x^2>0$ pour tout x dans ]0 ; + ∞[, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de g(x).

Ce signe a été étudié à la partie A :

si x  1, alors $f^{\prime }(x)0$ et f est strictement décroissante sur ]0 ; 1[ ;

$f^{\prime }(1)=0$;

si x > 1, alors $f^{\prime }(x)>0$ et f est strictement croissante sur ]1 ; + ∞[.

On peut dresser le tableau suivant :

▶ 2. Résoudre une équation associée à une fonction

$f(x)=0$ équivaut à $\frac{1}{x}=2$ ou $\ln (x)=1$, soit $x=\frac{1}{2}$ ou x = e.

L'équation $f(x)=0$ a donc deux solutions sur ]0 ; + ∞[.

Du tableau de variations précédent, on peut déduire le tableau de signes suivant :

partie C : Étude d'une fonction F admettant pour dérivée la fonction f

▶ 1. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Le signe de f(x) a été étudié à la partie B.

On en déduit que :

sur $\left]\text{0 }; \frac{1}{2}\right]$, $F^{\prime }(x)\ge 0$, F est croissante ;

sur $\left[\frac{1}{2} ; \text{e}\right]$, $F^{\prime }(x)\le 0$, F est décroissante ;

sur $[\text{e} ; +\infty [$, $F^{\prime }(x)\ge 0$, F est croissante.

▶ 2. Déterminer des tangentes de direction donnée

La tangente à $\mathcal{C}$_F au point d'abscisse a est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si $F^{\prime }(a)=0$, c'est-à-dire $f(a)=0$.

D'après la question 2. de la partie B, l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions : $\frac{1}{2}$ et e.

La courbe ${\mathcal{C}}_F$ admet donc deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, aux points d'abscisses $\frac{1}{2}$ et e.