Intervalle de fluctuation • Estimation
matT_1311_03_03C
Ens. spécifique
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CORRIGE
Amérique du Sud • Novembre 2013
Exercice 4 • 4 points
Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 
près.
Les parties A et B sont indépendantes.
Dans un cabinet d’assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.
Partie A
Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.
On note 
la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.
est la loi binomiale de paramètres :
et 
. (0,75 point)
1). (0,5 point)
Déterminer, en justifiant, si l’affirmation du cabinet d’assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année » peut être validée par l’expert. (1 point)
Partie B
Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégories.
On s’intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l’année.
On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
.
Les thèmes en jeu
Variable aléatoire • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
est :
,
où 
est la proportion supposée dans la population (ici 
).
de clients ayant déclaré un sinistre observée sur l’échantillon appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % déterminé à la question précédente.
Partie B
Partie A
> 1. a) Justifier la loi de probabilité d’une variable aléatoire
On considère qu’on répète de manière indépendante 15 épreuves de Bernoulli identiques (choix d’un client) ; le succès est « le client a déclaré un sinistre au cours de l’année », la probabilité de succès est 
, car on admet que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.
b) Calculer une probabilité à partir de la loi binomiale
P(X 
1) 
> 2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation
; on considère un échantillon de taille 
.
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre dans un échantillon de taille n est :
.
.
Partie B
> 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 € est 
.
D’après la calculatrice :
> 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 € est 
.
Le coût d’un sinistre ne peut pas être négatif, donc :
.
D’après la calculatrice :
