Étude des sinistres déclarés à un cabinet d’assurance

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
Corpus Corpus 1
Étude des sinistres déclarés à un cabinet d’assurance

Intervalle de fluctuation • Estimation

matT_1311_03_03C

Ens. spécifique

32

CORRIGE

Amérique du Sud • Novembre 2013

Exercice 4 • 4 points

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à près.

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un cabinet d’assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

Partie A

Une enquête affirme que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

>1. Dans le cadre d’une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.

On note la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.

a) Justifier que la loi de probabilité de est la loi binomiale de paramètres :

et . (0,75 point)

b) Calculer P(X 1). (0,5 point)

>2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 100 clients choisis au hasard dans l’ensemble des clients du cabinet d’assurance.

a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année. (0,75 point)

b) L’expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation du cabinet d’assurance : « 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année » peut être validée par l’expert. (1 point)

Partie B

Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégories.

On s’intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l’année.

On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres.

On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance et d’écart-type .

>1. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 €. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 €. (0,5 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Variable aléatoire • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. a) Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille est :

,

est la proportion supposée dans la population (ici ).

>2. b) L’affirmation peut être validée si la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre observée sur l’échantillon appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % déterminé à la question précédente.

Partie B

>1. Utilisez la calculatrice.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. a) Justifier la loi de probabilité d’une variable aléatoire

On considère qu’on répète de manière indépendante 15 épreuves de Bernoulli identiques (choix d’un client) ; le succès est « le client a déclaré un sinistre au cours de l’année », la probabilité de succès est , car on admet que 30 % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.

DoncX suit la loi binomiale de paramètreset.

b) Calculer une probabilité à partir de la loi binomiale

P(X 1)

>2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation

a) On suppose que la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année est  ; on considère un échantillon de taille .

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre dans un échantillon de taille n est :

b) L’expert constate que 19 clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année, donc, sur l’échantillon considéré, la fréquence de clients ayant déclaré un sinistre est :

.

.

Donc, au risque d’erreur 5 %, l’affirmation du cabinet d’assurance ne peut pas être validée par l’expert.

Partie B

>1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 1 000 € et 1 500 € est .

D’après la calculatrice :

>2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 1 000 € est .

Le coût d’un sinistre ne peut pas être négatif, donc :

.

D’après la calculatrice :