Étude des tangentes à la courbe représentative d’une fonction

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 4 • 3 points

Étude des tangentes à la courbe représentative d’une fonction

On considère la fonction f définie par f(x)= 2x2ln(x) sur [0,2 ; 10] et on note (Cf) sa courbe représentative dans un repère du plan.

Le but de cet exercice est de prouver que la courbe (Cf) admet sur [0,2 ; 10] une seule tangente passant par l’origine du repère.

On note f la fonction dérivée de la fonction f.

▶ 1. Montrer que pour x [0,2 ;10], f(x)=2x(2ln(x)+1). (0,75 point)

▶ 2. Soit a un réel de [0,2;10], montrer que la tangente à la courbe (Cf) au point d’abscisse a a pour équation :

y=2a(2ln(a)+1)x2a2(ln(a)+1). (0,75 point)

▶ 3. Répondre alors au problème posé. (1,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 25 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

 3. Une droite passe par l’origine du repère si et seulement si son ordonnée à l’origine est nulle, c’est-à-dire si et seulement si elle a une équation de la forme y=mx.

Corrigé

Corrigé

 1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x appartenant à [0,2 ;10] :

f(x)=2×2xln(x)+2x2×1x

f(x)=4xln(x)+2x.

f(x)=2x(2ln(x)+1).

 2. Déterminer une équation d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction

La tangente à la courbe (Cf) au point d’abscisse a a pour équation :

y=f(a)(xa)+f(a)

y=2a(2ln(a)+1)(xa)+2a2lna.

y=2a(2ln(a)+1)x2a2(2ln(a)+1)+2a2lna

y=2a(2ln(a)+1)x2a2(ln(a)+1).

 3. Déterminer les éventuelles tangentes à une courbe passant par l’origine du repère

La droite d’équation y=2a(2ln(a)+1)x2a2(ln(a)+1) passe par l’origine du repère si et seulement si le couple (x ;y)=(0 ;0) vérifie son équation, c’est-à-dire si et seulement si 2a2(ln(a)+1)=0.

2a2(ln(a)+1)=0a=0 ou ln(a)=1a=0 ou a=e1.

Or a[0,2;10], donc a0. La seule solution est a=e1.

La courbe (Cf) admet donc sur [0,2 ; 10] une seule tangente passant par l’origine du repère : la tangente au point d’abscisse e1.