Terminale générale Physique-chimie Description d'un mouvement

Le mouvement

Actions appliquées à un système et mouvement

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Le mouvement

Étude du vol d'une balle de golf

1 h 05

6,5 points

Intérêt du sujet • Lancer une balle de golf est tout un art ! Ce sujet s'intéresse aux frottements de l'air sur la balle qui lui permettent d'aller plus loin... et ce, grâce aux « trous » à la surface de la balle !

Le swing d'un joueur de golf professionnel permet d'envoyer la balle à une distance (appelée « portée ») d'environ 250 mètres, distance mesurée horizontalement par rapport à l'impact initial entre le club et la balle de golf.

Le but de cet exercice est de confronter cette valeur de 250 mètres avec l'hypothèse d'un mouvement parabolique et de comprendre le décalage observé en considérant les conditions réelles du mouvement de la balle. Dans les parties 2 et 3, on cherche à retrouver la valeur de cette portée à partir de deux modèles différents.

Partie 1. vitesse initiale de la balle ⏱ 15 min

Le schéma qui suit propose la reconstruction d'une chronophotographie du mouvement d'une balle de golf après sa propulsion par le club. Le film a été réalisé par une caméra ultra rapide permettant d'enregistrer 1 000 images par seconde.

La représentation de la figure 1 montre les 9 premières images de l'enregistrement de la balle, la première image de la balle correspondant à sa position initiale.

▶ 1. À partir des données, déterminer l'intervalle de temps Δt qui sépare deux images de la chronophotographie. (0,25 point)

▶ 2. À quel type de mouvement simple peut être assimilé le mouvement de la balle au début du vol représenté sur la figure 1 de la page suivante ? (0,25 point)

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Figure 1

Remarque : le golfeur représenté sur la figure n'est pas à l'échelle de la chronophotographie et n'est ici qu'à titre purement illustratif.

▶ 3. En prenant en considération l'échelle proposée, déterminer le plus précisément possible la vitesse initiale V₀ avec laquelle la balle de golf est propulsée. (0,5 point)

Partie 2. mouvement de la balle modélisée par un point matériel ⏱ 35 min

La balle de golf est modélisée par un point matériel de masse m = 46 g évoluant dans un champ de pesanteur terrestre $\vec{g}$ . Dans ce modèle, la résistance de l'air n'est pas à prendre en compte.

Le mouvement de la balle est étudié dans le système d'axes (Ox, Oxy). À la date t = 0 s, elle est placée à l'origine du repère O.

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▶ 1. À partir d'une loi dont on donnera le nom, montrer que les composantes du vecteur accélération $\vec{a}$ s'écrivent : a_x = 0 et a_y = – g (1 point)

▶ 2. Déterminer les équations horaires du mouvement. (1 point)

▶ 3. Montrer que la portée x_max de la balle de golf s'écrit :

$x_{max} = \frac{2 V_{0}^{2} \times \cos θ \times \sin θ}{g}$ . (1 point)

▶ 4. Déterminer la valeur de x_max en considérant comme conditions expérimentales : θ = 11,0°, V₀ = 75,0 m ∙ s ^–1, g = 9,81 m ∙ s^–2. (0,25 point)

▶ 5. Comparer cette valeur calculée de la portée avec celle annoncée en introduction (les conditions initiales du mouvement restant identiques), et indiquer en quoi la valeur réelle de la portée dans l'air peut sembler surprenante. (0,25 point)

Partie 3. de l'importance de l'air dans le vol d'une balle de golf ⏱ 15 min

Dans cette partie, la balle n'est plus modélisée par un point matériel.

Lorsque le golfeur frappe la balle à l'instant t = 0, il utilise un club qui la propulse avec un angle d'une dizaine de degrés par rapport au sol. L'impact du club avec la balle a également pour conséquence de mettre celle-ci en rotation sur elle-même (phénomène de « backspin »). Ces rotations peuvent atteindre la fréquence de 2 700 tours par minute.

documentL'effet Magnus

L'effet Magnus est un phénomène qui se manifeste lorsque la balle possède un mouvement de rotation dans l'air.

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Lorsque le golfeur imprime à la balle un mouvement de rotation arrière, appelé « backspin », la balle tourne dans le sens indiqué sur le schéma ci-dessus.

L'air qui passe au-dessus de la balle est alors entraîné par la rotation de celle-ci, sa vitesse augmente et sa pression diminue.

Inversement, l'air qui passe au-dessous de la balle verra sa vitesse diminuer et sa pression augmenter.

Cette différence de pression est à l'origine d'une force supplémentaire $\vec{F}$ verticale, dirigée vers le haut, supposée appliquée au centre de la balle et constante tout au long du mouvement.

On néglige, dans ce modèle, les autres effets dus à l'air.

▶ 1. Représenter sur le document ci-dessous les forces modélisant les actions mécaniques s'exerçant sur la balle. (0,5 point)

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▶ 2. En déduire l'expression de la nouvelle composante a_y de l'accélération verticale en fonction de m, g et F. (0,5 point)

▶ 3. Estimer la valeur de l'intensité de la force $\vec{F}$ pour retrouver la portée effectivement observée. (0,5 point)

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Vitesse initiale de la balle; ▶ 2. Pensez à décrire la trajectoire, c'est-à-dire la « forme » du mouvement et l'évolution de la vitesse pendant le mouvement.▶ 3. Mesurez la distance parcourue entre deux positions successives. Utilisez une règle de proportionnalité pour déterminer la distance réelle parcourue à l'aide de l'échelle indiquée sur la représentation.; Ligne 2 : Partie 2. Mouvement de la balle modélisée par un point matériel; ▶ 2. • Intégrez la relation trouvée en 1. pour obtenir la vitesse.Déterminez les constantes d'intégration en utilisant la vitesse initiale V0→(V0cosθ ; V0sinθ).Intégrez de nouveau la relation trouvée pour exprimer la position.Déterminez les constantes d'intégration en utilisant la position initiale OM0→(0 ; 0).▶ 3. Au moment où la balle touche le sol, son altitude est nulle : y = 0.; Ligne 3 : Partie 3. De l'importance de l'air dans le vol d'une balle de golf; ▶ 2. Revenez à l'application de la 2e loi de Newton en prenant en compte la force de Magnus en plus du poids puis en projetant la relation vectorielle obtenue sur l'axe vertical.;

Aide à la résolution de la question 1 de la partie 2

Ce type de problème se résout toujours selon la même démarche.

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Partie 1. vitesse initiale de la balle

▶ 1. Déterminer un paramètre expérimental

L'énoncé indique que la caméra permet d'enregistrer 1 000 images par seconde, donc entre deux images il s'écoule 1/1 000^e de seconde : Δt = 1 ms.

▶ 2. Décrire un mouvement

attention

Pour décrire un mouvement, il faut s'attacher à deux caractéristiques : la trajectoire et l'évolution de la vitesse.

Juste après la propulsion, le mouvement de cette balle peut être assimilé à un mouvement rectiligne et uniforme. En effet, on peut constater que :

la trajectoire de la balle est une droite (en superposant une règle sur les différentes positions occupées sur les 9 premières images) ;

la vitesse est constante puisque la distance entre chaque image est toujours la même.

▶ 3. Déterminer expérimentalement la valeur d'une vitesse

à noter

Dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, on considère la plus grande distance possible pour atténuer l'effet des incertitudes de mesure.

On mesure la distance parcourue entre la première position et la neuvième position de la balle. Sur la feuille d'énoncé, cette distance vaut 7,6 cm. Or l'échelle de cette feuille est : 1,9 cm représente 15 cm.

La distance réellement parcourue par la balle entre ces deux positions est donc :

$\frac{7,6}{1,9} \times 15 = 60,00 cm$

De plus, comme on l'a vu dans la question 1., Δt = 1 ms donc, il s'est écoulé 8 ms entre la première et la neuvième position. D'où la valeur de la vitesse de la balle :

V₀ = $\frac{60 \times 10^{- 2}}{8 \times 10^{- 3}} =$ $75 m \cdot s^{- 1}$

Partie 2. mouvement de la balle modélisée par un point matériel

▶ 1. Déterminer les composantes de l'accélération

On étudie le mouvement du « point matériel de masse m évoluant dans un champ de pesanteur terrestre $\vec{g}$ ». Le système étudié est donc le point matériel (modélisant la balle). Prenons alors un référentiel terrestre et dressons le bilan des forces qui s'appliquent sur la balle.

mot clé

Il s'agit d'un cas de chute libre, c'est-à-dire que le système n'est soumis qu'à son poids.

L'unique force appliquée à la balle est son poids :

ni le joueur, ni le club du joueur ne touchent plus la balle, une fois frappée ;

l'énoncé nous demande de ne pas prendre en considération « la résistance de l'air ».

Le poids de la balle est une force à distance, donc appliquée au centre de gravité de la balle, et $\vec{P}$ = m $\vec{g}$ donc c'est une force verticale, descendante et de valeur mg.

à noter

L'énoncé de la 2^e loi de Newton est : « Dans un référentiel galiléen, la somme des forces appliquées à un système est égale à la dérivée de sa quantité de mouvement ».

En supposant que le référentiel est galiléen, on peut écrire la relation déduite de la deuxième loi de Newton : Σ ${\vec{f}}_{ext}$ = $\vec{P}$ = $\frac{d \vec{p}}{d t}$ d'où $\frac{d \vec{p}}{d t} = m \vec{g}$ .

Sachant que $\vec{p} = m \times \vec{v},$ et que la masse m, est constante : $\frac{d \vec{p}}{d t} = \frac{d (m \vec{V)}}{d t} = m \frac{d \vec{V}}{d t}$ .

Or $\frac{d \vec{V}}{d t}$ est par définition le vecteur accélération $\vec{a} .$ On peut donc écrire : m $\vec{a}$ = $m \vec{g}$ donc $\vec{a} = \vec{g}$ .

attention

L'axe vertical Oy représenté sur le schéma de l'énoncé est ascendant donc $\vec{g} = - g \vec{j}$ d'où $\vec{g} (\begin{matrix} 0 \\ - g \end{matrix})$ .

Le vecteur champ de pesanteur étant vertical descendant, les composantes de $\vec{g}$ sont $\vec{g}$ $(\begin{matrix} 0 \\ - g \end{matrix})$ car l'axe vertical Oy représenté sur le schéma de l'énoncé est ascendant. On en déduit les composantes de l'accélération $\vec{a}$ : a_x = 0 et a_y = – g.

▶ 2. Déterminer les équations horaires du mouvement

Comme l'accélération est la dérivée de la vitesse, nous pouvons intégrer les relations précédentes pour retrouver les composantes de la vitesse du système.

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - g \end{cases}$ donne par intégration ${\begin{cases} V_{x} = C_{1} \\ V_{y} = - g t + C_{2} \end{cases}$

dans lesquelles C₁et C₂ sont des constantes.

Pour déterminer C₁ et C₂, nous utilisons le fait, qu'à t = 0, la vitesse est égale à :

$\vec{V_{0}}$ $(\begin{matrix} V_{0} cos θ \\ V_{0} sin θ \end{matrix})$

Cela implique, par identification, que C₁ = V₀ cos θ et C₂ = V₀ sin θ. D'où, les équations horaires de la vitesse :

$\vec{V} (t)$ $(\begin{matrix} V_{x} = V_{0} cos θ \\ V_{y} = - g t + V_{0} sin θ \end{matrix})$

Une deuxième intégration nous permet d'obtenir les équations horaires de la position du système puisque la vitesse est la dérivée de la position :

$\frac{d \vec{OM}}{d t} = \vec{V}$ .

donc $\vec{OM} (t) (\begin{matrix} x = V_{0} \times (\cos θ) \times t + C_{3} \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \times (\sin θ) \times t + C_{4} \end{matrix})$ .

Pour déterminer C₃ et C₄, on utilise la connaissance de la position à l'instant initial ${\begin{cases} x (0) = 0 \\ y (0) = 0 \end{cases}$ donc, par identification, C₃ = C₄ = 0.

à noter

Voir la de la boîte à outils.

Les équations horaires de la position sont alors entièrement déterminées :

$\vec{OM} (t) (\begin{matrix} x = V_{0} \times (\cos θ) \times t \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \times (\sin θ) t \end{matrix})$ .

▶ 3. Déterminer la portée d'un mouvement

Puisque la balle part du point origine du système, la portée est directement l'abscisse du point de chute de la balle. Or, à cet instant, la balle touche le sol et son ordonnée est alors y = 0. L'instant auquel cela se produit est donc tel que :

$y = - \frac{1}{2} g t^{2} + V_{0} \times (\sin θ) \times t = 0$ .

En factorisant cette équation du second degré, on trouve deux solutions possibles :

t₁ = 0 ce qui correspond à l'instant initial (effectivement la balle est au niveau du sol), mais ce n'est pas la solution qui nous intéresse ici ;

t₂ = $\frac{2 V_{0} sin θ}{g}$ qui est l'instant cherché.

Pour déterminer la portée, il suffit de reporter cette valeur $t = t_{2} = \frac{2 V_{0} sin θ}{g}$ dans l'expression de l'abscisse x de la balle. On obtient la portée $x_{\max} = V_{0} cos θ \times \frac{2 V_{0} sin θ}{g} =$ $\frac{2 V_{0}^{2} cos θ sin θ}{g}$ .

C'est bien ce qui est proposé dans l'énoncé.

▶ 4. Calculer une valeur numérique

attention

Pensez à vérifier que votre calculatrice est réglée « en degré » et non pas en radian !

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x_max = $\frac{2 V_{0}^{2} \times \cos θ \times \sin θ}{g}$

x_max = $\frac{2 \times 75^{2} \times (\cos 11) \times (\sin 11)}{9,81}$ x_max = 215 m ⋅ s^–1.

Remarque. Ici toutes les données sont exprimées avec 3 chiffres significatifs donc il faut exprimer le résultat avec 3 chiffres significatifs.

▶ 5. Critiquer un résultat numérique

La valeur déterminée est inférieure à la valeur de 250 m annoncée en introduction. Cela est surprenant a priori puisque l'on n'a pas tenu compte de la résistance de l'air qui devrait faire perdre à la balle une certaine partie de la distance parcourue. La partie 3 apportera une explication logique à cette différence de valeur.

Partie 3. de l'importance de l'air dans le vol d'une balle de golf

▶ 1. Représenter des forces sur un schéma

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Étant donné que l'on néglige toute action due à l'air en dehors de la force $\vec{F}$ , il n'y a que deux forces, toutes deux appliquées au centre de gravité de la balle.

▶ 2. Déterminer la composante verticale de l'accélération

On considère maintenant que le système est soumis à deux forces et non uniquement à son poids.

En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient :

$m \vec{a} =$ Σ ${\vec{f}}_{ext}$ = $\vec{P} + \vec{F}$ .

Donc : $\vec{a} = \frac{\vec{P} + \vec{F}}{m}$ .

Pour la composante verticale, cela revient à : a_y = $\frac{P_{y} + F_{y}}{m}$

où P_y = –mg et F_y = + F car, d'après l'énoncé, la force $\vec{F}$ est verticale, vers le haut et constante.

Ainsi : a_y = $\frac{- m g + F}{m} = \frac{F}{m} - g$ .

▶ 3. Estimer une valeur de force

Comme indiqué sur le schéma de la question 3. 1, la force $\vec{F}$ s'oppose au poids. Son effet n'est pas suffisant pour annuler le poids (sinon le mouvement serait rectiligne et uniforme) mais sa présence modifie la valeur de l'accélération verticale :

sans l'effet Magnus, on a ma_y = –mg ;

avec l'effet Magnus, on a ma_y = –mg + F.

Ainsi, l'importance de la somme des forces orientées vers le bas n'est plus « mg » mais « mg – F ».

Estimons l'importance de la différence entre la valeur de x_max calculée sans tenir compte de l'effet Magnus à la question 2. 4 (215 m) et la portée de 250 m annoncée dans l'énoncé.

L'écart relatif entre ces valeurs est : $\frac{250 - 215}{250} = 0,14 =$ 14 %.

La valeur de $\vec{F}$ doit donc permettre de diminuer de 14 % la valeur de la somme des forces pour que la balle aille plus loin de 14 %.

On peut ainsi estimer que $\vec{F}$ a une valeur d'environ 14 % de la valeur du poids :

F = $\frac{14}{100} \times 0,046 \times 9,81 =$ 6,3 × 10^–2 N.

Le conseil de méthode

On peut aussi calculer F en repartant de la question 3 de la partie 2 où nous avions défini la portée x_max en ne considérant que le poids par :

x_max = $\frac{2 \times V_{0} \times \sin θ \times \cos θ}{g}$ . Ici, en considérant x′_max = 250 m et la force de Magnus qui modifie le dénominateur g en $(g - \frac{F}{m})$ , on obtient :

x′_max = $\frac{2 \times V_{0} \times \sin θ \times \cos θ}{g - \frac{F}{m}}$

donc F = mg – $\frac{m \times V_{0}^{2} \times \sin θ \times \cos θ}{{x^{'}}_{\max}}$ = 6,3 × 10^–2 N.

On retrouve la même valeur pour F que celle que nous avons estiméee.

Étude du vol d'une balle de golf

Partie 1. vitesse initiale de la balle ⏱ 15 min

Figure 1

Partie 2. mouvement de la balle modélisée par un point matériel ⏱ 35 min

Partie 3. de l'importance de l'air dans le vol d'une balle de golf ⏱ 15 min

documentL'effet Magnus

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Aide à la résolution de la question 1 de la partie 2

Partie 1. vitesse initiale de la balle

▶ 1. Déterminer un paramètre expérimental

▶ 2. Décrire un mouvement

attention

▶ 3. Déterminer expérimentalement la valeur d'une vitesse

à noter

Partie 2. mouvement de la balle modélisée par un point matériel

▶ 1. Déterminer les composantes de l'accélération

mot clé

à noter

attention

▶ 2. Déterminer les équations horaires du mouvement

à noter

▶ 3. Déterminer la portée d'un mouvement

▶ 4. Calculer une valeur numérique

attention

▶ 5. Critiquer un résultat numérique

Partie 3. de l'importance de l'air dans le vol d'une balle de golf

▶ 1. Représenter des forces sur un schéma

▶ 2. Déterminer la composante verticale de l'accélération

▶ 3. Estimer une valeur de force

Le conseil de méthode

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