Étude du volume d’eau dans un bassin

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Étude du volume d’eau dans un bassin

Matrices et suites

matT_1405_02_04C

Ens. de spécialité

38

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 4 • 5 points

Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.

Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique, on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de deux pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

  • au départ, le bassin A contient 1 100 m3 d’eau et le bassin B contient 1 100 m3 d’eau ;
  • tous les jours, 15 % du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
  • tous les jours, 10 % du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et, pour des raisons de maintenance, on transfère également 5 m3 du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel n, on note :

  • an le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement ;
  • bn le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.

On a donc a0= 1 100 et b0= 1 100.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

>1. Traduire la conservation du volume total d’eau du circuit par une relation liant an et bn.

>2. On utilise un tableur pour visualiser l’évolution du volume d’eau dans les bassins.

Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :


 

>3. Quelles conjectures peut-on faire sur l’évolution du volume d’eau dans chacun des bassins ?

Partie B

On considère la matrice carrée et les matrices colonnes et .

On admet que, pour tout entier naturel n, Xn+1=MXn+R.

>1. On note .

Vérifier que S=MS +R.

En déduire que, pour tout entier naturel n, Xn+1S=M(XnS).

Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel n, XnS=Mn(X0S) et que .

>2. Montrer que, pour tout entier naturel n,

.

>3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

>4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l’entier naturel n vérifie :

1 300 – an< 1,5 et bn – 900 < l,5.

Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites géométriques • Fonction logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Variations d’une suite  E2a  → Partie B, 3.
  • Limite d’une suite géométrique et opérations sur les limites  E4d • E2c  → Partie B, 3.
  • Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien  E9b
    Partie B, 5.

Calculatrice

  • Effectuer des calculs sur les matrices  C5 Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Traduire en langage mathématique les échanges de volumes d’eau entre bassins en vous concentrant sur le bassin A : identifiez l’eau qui reste dans A, celle qui est transférée de B dans A et enfin les 5 mètres cube retirés de A. Traduire alors la relation obtenue à l’aide d’une formule de tableur pour compléter la cellule B3.

Partie B

>4. Montrer que la résolution des deux inéquations se ramène en fait à la résolution d’une seule inéquation. Penser à la fonction logarithme népérien pour achever la résolution.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Établir une relation

D’après l’énoncé, un volume d’eau constant de est réparti entre les deux bassins A et B.

Or, pour tout entier naturel , et sont respectivement les volumes d’eau (exprimés en ) présents dans les bassins A et B à la fin de la -ième journée de fonctionnement.

On a donc, pour tout entier naturel :

>2. Déterminer des formules à saisir dans une feuille de tableur

est le volume d’eau (exprimé en ) présent dans le bassin A à la fin de la (-ième journée de fonctionnement. Il a été constitué de la manière suivante :

  • 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B à la fin de la -ième journée de fonctionnement est transféré dans le bassin A, ce qui correspond à 0,15 ;
  • 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A à la fin de la -ième journée de fonctionnement est transféré dans le bassin B, ce qui signifie que 90 % du volume d’eau présent dans le bassin A y reste, ce qui correspond à 0,9. À cette quantité, il faut enlever transférés de A vers B pour des raisons de maintenance.

Ainsi, pour tout entier naturel  :

.

Dans la cellule B3, il faut donc saisir la formule :

Comme, pour tout entier naturel , on a il faut saisir, dans la cellule C3, la formule :

>3. Émettre des conjectures à l’aide d’un tableur

Le volume d’eau dans le bassin A semble augmenter et avoir pour valeur limite 1 300.

On peut donc conjecturer que la suite (est croissante et que sa limite est 1 300.

Le volume d’eau dans le bassin B semble diminuer et avoir pour valeur limite 900.

On peut donc conjecturer que la suite (est décroissante et que sa limite est 900.

partie b

>1. Vérifier des égalités matricielles

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

On a ainsi .

Pour tout entier naturel  :

.

>2. Déterminer les formules pour les coefficients d’une matrice

Pour tout entier naturel , on admet que ce qui équivaut à :

.

Or, on sait que et .

Ainsi :

.

Finalement :

>3. Valider ou invalider des conjectures

D’après la question précédente, pour tout entier naturel n :

.

Or, d’après l’énoncé, on sait que . On obtient donc par identification :

et .

  • Pour tout entier naturel  :

La suite (est donc croissante.

  • donc . Par produit et différence :

.

  • Pour tout entier naturel  :

La suite (est donc décroissante.

  • donc . Par produit et somme :

.

>4. Déterminer une valeur seuil

Notez bien

Pour tout entier naturel , .

Pour tout entier naturel  :

.

Notez bien

donc en divisant par ce nombre on change le sens de l’inégalité.

Le problème posé équivaut donc à résoudre l’inéquation

Comme , le premier jour pour lequel le processus est stabilisé est le 18e jour.

Remarque. Consultez la feuille de tableur fournie pour vérifier la cohérence de votre résultat !