Étude et intégration d’une fonction exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude et intégration d’une fonction exponentielle
 
 

Fonction exponentielle

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1305_09_08C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 3 • 6 points

Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk définie sur par .

Le plan est muni d’un repère orthonormé .

Partie A

Dans cette partie on choisit k= 1. On a donc, pour tout réel x,

.

La représentation graphique C1 de la fonction f1 dans le repère est donnée en annexe, à rendre avec la copie.

>1. Déterminer les limites de f1(x) en + &infin et en &minus  &infin et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

>2. Démontrer que, pour tout réel x,

>3. On appelle la fonction dérivée de f1 sur . Calculer, pour tout réel x, .

En déduire les variations de la fonction f1 sur .

>4. On définit le nombre

Montrer que . Donner une interprétation graphique de I.

Partie B

Dans cette partie, on choisit k= &minus  1 et on souhaite tracer la courbe C&minus 1 représentant la fonction f&minus 1.

Pour tout réel x, on appelle P le point de C1 d’abscisse x et M le point de C&minus 1 d’abscisse x.

On note K le milieu du segment [MP].

>1. Montrer que, pour tout réel x, f1(x) +f&minus 1(x) = 1.

>2. En déduire que le point K appartient à la droite d’équation .

>3. Tracer la courbe C&minus 1 sur l’annexe, à rendre avec la copie.

>4. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes C1 et C&minus 1, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1.

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

>1. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction fk est strictement comprise entre les droites d’équations y= 0 et y= 1.

>2. Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction fk est strictement croissante.

>3. Pour tout réel k &ge  10, .

Annexe


 

Représentation graphique C1de la fonction f1

Durée conseillée : 1 h 05 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites  E5a • E5d  → Partie A, 1.
  • Propriétés liées à la fonction exponentielle  E8 Partie A, 2.
  • Formules de dérivation  E6e • E6f  → Partie A, 3.partie C, 2.
  • Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie A, 3.partie C, 2.
  • Intégration : primitives, calcul intégral et interprétation
     E11c • E13 • E14 Partie A, 4.partie B, 4.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Multipliez le numérateur et le dénominateur du quotient par .

>4. Appliquez la propriété usuelle suivante : la fonction est une primitive sur de la fonction lorsque la fonction u est dérivable et strictement positive sur .

Partie B

>1. Utilisez l’égalité .

>2. Notez d’une part les coordonnées des points et et d’autre part que .

Partie C

>1. Démontrez que pour tout on a .

>3. Démontrez que en partant de . Utilisez, pour manipuler les inégalités successives, les variations de fonctions usuelles.