Étude et intégration d’une fonction exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Moyen-Orient
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude et intégration d’une fonction exponentielle
 
 

Fonction exponentielle

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1305_09_08C

 

Liban • Mai 2013

Exercice 3 • 6 points

Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk définie sur par .

Le plan est muni d’un repère orthonormé .

Partie A

Dans cette partie on choisit k= 1. On a donc, pour tout réel x,

.

La représentation graphique C1 de la fonction f1 dans le repère est donnée en annexe, à rendre avec la copie.

>1. Déterminer les limites de f1(x) en + ∞ et en − ∞ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

>2. Démontrer que, pour tout réel x,

>3. On appelle la fonction dérivée de f1 sur . Calculer, pour tout réel x, .

En déduire les variations de la fonction f1 sur .

>4. On définit le nombre

Montrer que . Donner une interprétation graphique de I.

Partie B

Dans cette partie, on choisit k= − 1 et on souhaite tracer la courbe C−1 représentant la fonction f−1.

Pour tout réel x, on appelle P le point de C1 d’abscisse x et M le point de C−1 d’abscisse x.

On note K le milieu du segment [MP].

>1. Montrer que, pour tout réel x, f1(x) +f−1(x) = 1.

>2. En déduire que le point K appartient à la droite d’équation .

>3. Tracer la courbe C−1 sur l’annexe, à rendre avec la copie.

>4. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes C1 et C−1, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1.

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

>1. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction fk est strictement comprise entre les droites d’équations y= 0 et y= 1.

>2. Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction fk est strictement croissante.

>3. Pour tout réel k  10, .

Annexe


 

Représentation graphique C1de la fonction f1

Durée conseillée : 1 h 05 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites  E5a • E5d  → Partie A, 1.
  • Propriétés liées à la fonction exponentielle  E8 Partie A, 2.
  • Formules de dérivation  E6e • E6f  → Partie A, 3. ; partie C, 2.
  • Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie A, 3. ; partie C, 2.
  • Intégration : primitives, calcul intégral et interprétation
     E11c • E13 • E14 Partie A, 4. ; partie B, 4.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Multipliez le numérateur et le dénominateur du quotient par .

>4. Appliquez la propriété usuelle suivante : la fonction est une primitive sur de la fonction lorsque la fonction u est dérivable et strictement positive sur .

Partie B

>1. Utilisez l’égalité .

>2. Notez d’une part les coordonnées des points et et d’autre part que .

Partie C

>1. Démontrez que pour tout on a .

>3. Démontrez que en partant de . Utilisez, pour manipuler les inégalités successives, les variations de fonctions usuelles.

Corrigé

partie a

>1. Calculer et interpréter une limite d’une fonction

  • Posons avec .

On a donc et donc .

Par passage à l’inverse on en déduit que .

Il s’ensuit que la droite d’équation y= 1 est une asymptote horizontale à la courbeC1au voisinage de.

  • Posons avec .

On a donc et donc .

Par passage à l’inverse on en déduit que .

Il s’ensuit que la droite d’équation y= 0 est une asymptote horizontale à la courbeC1au voisinage de.

>2. Transformer une expression littérale

Pour tout réel x, comme , on a :

 

Notez bien

.

Il s’ensuit que pour tout réelx,.

>3. Étudier les variations d’une fonction

est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur (tel que le dénominateur ne s’annule pas). Pour tout réel x, on a :

 

Attention

Il faut appliquer la formule de dérivation du quotient :

.

Pour tout , et . On en déduit que pour tout réel x, on a .

Par conséquent, la fonction est strictement croissante sur.

>4. Calculer et interpréter graphiquement une intégrale.

  • La fonction est définie et dérivable sur et pour tout réel x, .

admet donc la fonction comme primitive sur . On en déduit que :

 

Notez bien

et .

  • La fonction est continue et positive sur et donc sur [0 ; 1].

I est donc l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C1 représentant , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équations x= 0 et x= 1.

partie b

>1. Démontrer une égalité

On a, pour tout  :

Et donc .

>2. Déterminer les coordonnées du milieu d’un segment

On sait que K est le milieu du segment [MP] avec et .

On a donc , d’après le résultat établi à la question précédente, à savoir .

On en déduit que le point K appartient à la droite d’équation.

>3. Tracer la courbe représentative d’une fonction dans un repère donné


 

>4. Calculer l’aire d’un domaine en introduisant une intégrale

  • Pour tout  :

Le nombre a le signe de car > 0 quelle que soit la valeur du réel x.

Or :

On en déduit que pour tout , on a .

  • La fonction étant continue et positive sur [0 ; 1], l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes C1 et C–1, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x= 1 est le nombre .
 

Attention

On a vu précédemment que :

.

Or, , il s’ensuit :

.

partie c

>1. Étudier la position d’une courbe par rapport à deux droites horizontales

On a, pour tout  : L’affirmation est donc vraie.

>2. Étudier les variations d’une famille de fonctions

Les fonctions sont dérivables sur , comme quotients de fonctions dérivables tels que le dénominateur ne s’annule pas. Pour tout réel x, on a : .

 

Info

On aurait pu étudier le cas trivial k= 0. La fonction associée est constante…

Or, si le nombre k est strictement négatif, on a et donc la fonction est décroissante sur . L’affirmation est donc fausse.

>3. Étudier les variations d’une famille de fonctions

Soit . On a les implications suivantes :

Car, en particulier, la fonction exponentielle est croissante sur et la fonction inverse est décroissante sur . Or, on a d’une part et d’autre part .

Par conséquent, l’affirmation est vraie.