Intégration
matT_1509_07_04C
Ens. spécifique
20
France métropolitaine • Septembre 2015
Exercice 2 • 5 points
Étude graphique d'une fonction et calcul d'une aire
On considère une fonction définie sur l'intervalle [0 5].
partie a – À l'aide d'un graphique
On a représenté ci-après la courbe de la fonction dérivée , ainsi que la courbe de la fonction dérivée seconde sur l'intervalle [0 5].
Le point A de coordonnées (1 0) appartient à et le point B de coordonnées (2 0) appartient à la courbe .
▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction . Justifier. (1 point)
▶ 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe. Justifier. (1 point)
▶ 3. La courbe de admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s). (1 point)
partie b – Étude de la fonction
La fonction est définie sur [0 5] par .
▶ 1. Justifier que est positive sur l'intervalle [0 5]. (0,5 point)
▶ 2. Montrer que la fonction définie sur [0 5] par :
est une primitive de sur [0 5]. (0,5 point)
▶ 3. Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de , l'axe des abscisses, et les droites d'équation et (1 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Variations d'une fonction • Convexité • Point d'inflexion • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calculs d'aire.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 2. et 3. Déterminez d'après le graphique le sens de variation de et/ou le signe de .
Partie B
▶ 2. est une primitive de si et seulement si est la dérivée de .
Corrigé
partie a – À l'aide d'un graphique
▶ 1. Déterminer le sens de variation d'une fonction
Le sens de variation de la fonction dépend du signe de sa dérivée . Pour déterminer le signe de , on étudie la position relative de sa courbe représentative et de l'axe des abscisses.
Par lecture graphique :
si , et si .
Donc est strictement croissante sur [0 1], strictement décroissante sur et elle a un maximum en .
▶ 2. Étudier la convexité d'une fonction
La fonction est convexe sur l'intervalle I si et seulement si pour tout I, concave sur l'intervalle I si et seulement si pour tout I.
À partir de la courbe représentative de , on peut donc établir que est concave sur [0 2] et f est convexe sur [2 5].
▶ 3. Étudier l'existence et déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction
D'après le graphique donné, s'annule et change de signe en .
La courbe représentative de admet donc un point d'inflexion d'abscisse 2.
partie b – Étude de la fonction
La fonction est définie sur [0 5] par .
▶ 1. Justifier le signe d'une fonction
Pour tout réel , . Pour tout appartenant à [0 5], .
Donc, pour tout dans [0 5], .
La fonction est positive sur l'intervalle [0 5].
▶ 2. Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
Pour tout dans [0 5] :
.
.
Donc est une primitive de sur [0 5].
▶ 3. Calculer l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction
D'après la question 1., la fonction est positive sur [0 5], donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de , les droites d'équation et et l'axe des abscisses, est :
car est une primitive de sur [0 5].
D'où, en unités d'aire :