Étude graphique d’une fonction et calcul d’une aire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Septembre 2015

Exercice 2 • 5 points

Étude graphique d’une fonction et calcul d’une aire

On considère une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5].

partie a – À l’aide d’un graphique

On a représenté ci-après la courbe (Cf) de la fonction dérivée f, ainsi que la courbe (Cf) de la fonction dérivée seconde f sur l’intervalle [0 ; 5].

Le point A de coordonnées (1 ; 0) appartient à (Cf) et le point B de coordonnées (2 ; 0) appartient à la courbe (Cf).

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▶ 1. Déterminer le sens de variation de la fonction f. Justifier. (1 point)

▶ 2. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est convexe. Justifier. (1 point)

▶ 3. La courbe de f admet-elle des points d’inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s). (1 point)

partie b – Étude de la fonction

La fonction f est définie sur [0 ; 5] par f(x)=5xex.

▶ 1. Justifier que f est positive sur l’intervalle [0 ; 5]. (0,5 point)

▶ 2. Montrer que la fonction F définie sur [0 ; 5] par :

F(x)=(5x5)ex

est une primitive de f sur [0 ; 5]. (0,5 point)

▶ 3. Déterminer alors la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équation x=0 et x=1. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Convexité • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. et 3. Déterminez d’après le graphique le sens de variation de f et/ou le signe de f.

Partie B

 2. F est une primitive de f si et seulement si f est la dérivée de F.

Corrigé

Corrigé

partie a – À l’aide d’un graphique

▶ 1. Déterminer le sens de variation d’une fonction

Le sens de variation de la fonction f dépend du signe de sa dérivée f. Pour déterminer le signe de f, on étudie la position relative de sa courbe représentative et de l’axe des abscisses.

Par lecture graphique :

f(x)>0 si x[0;1[, f(1)=0 et f(x)<0 si x>1.

Donc f est strictement croissante sur [0 ; 1], strictement décroissante sur [1 ; 5] et elle a un maximum en x=1.

 2. Étudier la convexité d’une fonction

La fonction f est convexe sur l’intervalle I si et seulement si f(x)0 pour tout xI, concave sur l’intervalle I si et seulement si f(x)0 pour tout xI.

À partir de la courbe représentative de f, on peut donc établir que f est concave sur [0 ; 2] et f est convexe sur [2 ; 5].

 3. Étudier l’existence et déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction

D’après le graphique donné, f s’annule et change de signe en x=2.

La courbe représentative de f admet donc un point d’inflexion d’abscisse 2.

partie b – Étude de la fonction

La fonction f est définie sur [0 ; 5] par f(x)=5xex.

 1. Justifier le signe d’une fonction

Pour tout réel x, ex>0. Pour tout x appartenant à [0 ; 5], 5x0.

Donc, pour tout x dans [0 ; 5], f(x)0.

La fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; 5].

 2. Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout x dans [0 ; 5] :

F(x)=5ex+(5x5)(ex)=ex(5+5x+5).

F(x)=5xex=f(x).

Donc F est une primitive de f sur [0 ; 5].

 3. Calculer l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

D’après la question 1., la fonction f est positive sur [0 ; 5], donc l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de f, les droites d’équation x=0 et x=1 et l’axe des abscisses, est :

A=01f(x)dx=F(1)F(0) car F est une primitive de f sur [0 ; 5].

D’où, en unités d’aire : A=10e1+5=510e

A=5e10e.