Corrigé

partie a – À l'aide d'un graphique

▶ 1. Déterminer le sens de variation d'une fonction

Le sens de variation de la fonction f dépend du signe de sa dérivée f′. Pour déterminer le signe de f′, on étudie la position relative de sa courbe représentative et de l'axe des abscisses.

Par lecture graphique :

f′(x)>0 si x∈[01[, f′(1)=0 et f′(x)<mn>0</mn> si x>1.

Donc f est strictement croissante sur [0  1], strictement décroissante sur [1 5] et elle a un maximum en x=1.

▶ 2. Étudier la convexité d'une fonction

La fonction f est convexe sur l'intervalle I si et seulement si f″(x)≥0 pour tout x∈I, concave sur l'intervalle I si et seulement si f″(x)≤0 pour tout x∈I.

À partir de la courbe représentative de f″, on peut donc établir que f est concave sur [0  2] et f est convexe sur [2  5].

▶ 3. Étudier l'existence et déterminer les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction

D'après le graphique donné, f″ s'annule et change de signe en x=2.

La courbe représentative de f admet donc un point d'inflexion d'abscisse 2.

partie b – Étude de la fonction

La fonction f est définie sur [0  5] par f(x)=5xe−x.

▶ 1. Justifier le signe d'une fonction

Pour tout réel x, e−x>0. Pour tout x appartenant à [0  5], 5x≥0.

Donc, pour tout x dans [0  5], f(x)≥0.

La fonction f est positive sur l'intervalle [0  5].

▶ 2. Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Pour tout x dans [0  5] :

F′(x)=−5e−x+(−5x−5)(−e−x)=e−x(−5+5x+5).

F′(x)=5xe−x=f(x).

Donc F est une primitive de f sur [0  5].

▶ 3. Calculer l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction

D'après la question 1., la fonction f est positive sur [0  5], donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, les droites d'équation x=0 et x=1 et l'axe des abscisses, est :

A=∫01f(x)dx=F(1)−F(0) car F est une primitive de f sur [0  5].

D'où, en unités d'aire : A=−10e−1+5=5−10e

A=5e−10e.