Fonction logarithme népérien
matT_1606_07_03C
Ens. spécifique
16
France métropolitaine • Juin 2016
Exercice 4 • 6 points
Étude graphique et analytique d’une fonction comportant un logarithme
La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction définie et dérivable sur . Les points A (1 ; 3) et B d’abscisse 1,5 sont sur la courbe C.
Les tangentes à la courbe C aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On note la fonction dérivée de .
Les parties A et B sont indépendantes.
partie a. étude graphique
▶ 1. Déterminer . (0,25 point)
▶ 2. La tangente à la courbe C au point A passe par le point de coordonnées (0 ; 2).
Déterminer une équation de cette tangente. (0,5 point)
▶ 3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation et . (0,5 point)
▶ 4. Déterminer la convexité de la fonction sur . Argumenter la réponse. (0,75 point)
partie b. étude analytique
On admet que la fonction est définie sur par :
▶ 1. Pour tout réel de , calculer et montrer que :
. (0,5 point)
▶ 2. Étudier le signe de sur , puis dresser le tableau de variations de sur . (0,75 point)
▶ 3. Montrer que l’équation admet exactement une solution sur .
Donner une valeur approchée de à près. (1 point)
▶ 4. En déduire le tableau de signes de sur . (0,5 point)
▶ 5. On considère la fonction définie sur par :
.
a) Montrer que est une primitive de sur . (0,5 point)
b) En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation et . En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. (0,75 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 55 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Variations d’une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calculs d’aire.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 2. L’ordonnée à l’origine d’une droite est l’ordonnée de son point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
▶ 4. Observez la position relative de la courbe représentative de et de ses tangentes.
Partie B
▶ 3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
▶ 4. Ne confondez pas signe et sens de variation.
▶ 5. a) Calculez la dérivée de .
Corrigé
partie a. étude graphique
▶ 1. Lire graphiquement un nombre dérivé
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B d’abscisse 1,5. Or, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0.
▶ 2. Déterminer graphiquement une équation d’une droite
Soit (T) la tangente en A à la courbe C. Puisque (T) passe par le point de coordonnées , elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 2, donc son ordonnée à l’origine est égale à 2.
Notez bien
Si et sont deux points tels que , alors la droite (MN) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et son coefficient directeur est :
.
La droite (T) passe par le point A et par le point de coordonnées (0 ; 2), donc son coefficient directeur est .
La tangente en A à la courbe C a pour équation :
▶ 3. Donner par lecture graphique un encadrement d’une aire
L’unité d’aire étant donnée par le quadrillage, l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation et est telle que :
▶ 4. Étudier par lecture graphique la convexité d’une fonction
Sur l’intervalle , la courbe C est située en dessous de chacune de ses tangentes. Donc la fonction est concave sur
partie b. étude analytique
▶ 1. Calculer la dérivée d’une fonction
Pour tout réel de :
▶ 2. Étudier le signe de la dérivée et les variations d’une fonction
Pour tout dans , , donc est du signe de , donc :
si , alors , donc
si , alors , donc .
Donc est strictement croissante sur , strictement décroissante sur . On peut dresser son tableau de variation :
À près :
▶ 3. Montrer qu’une équation admet une unique solution
La fonction est strictement croissante sur , donc pour tout dans cet intervalle :
Donc . L’équation n’a donc pas de solution sur l’intervalle .
Sur l’intervalle , est continue et strictement décroissante.
D’autre part, , donc .
, donc .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation a une unique solution sur .
D’après la calculatrice :
et ,
donc , donc .
Sur l’intervalle , l’équation a une seule solution , dont une valeur approchée à près est 4,88.
Notez bien
est l’abscisse du point d’intersection de la courbe C et de l’axe des abscisses.
▶ 4. Dresser le tableau de signes d’une fonction
Des questions précédentes, on peut déduire que pour tout dans et pour tout dans . Le tableau de signes de sur est :
0,5 |
6 |
||||
Signe de |
+ |
0 |
▶ 5. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée
Pour tout dans l’intervalle :
.
Donc est une primitive de sur l’intervalle .
b) Calculer une aire
Conseil
N’oubliez pas de vérifier que ce résultat, ainsi que tous les résultats de la partie B, est cohérent avec la courbe donnée et les réponses aux questions de la partie A.
La fonction est continue et positive sur l’intervalle , donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation et est :