Corrigé

partie a. étude graphique

▶ 1. Lire graphiquement un nombre dérivé

f′(1,5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B d’abscisse 1,5. Or, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0.

f′(1,5)=0.

▶ 2. Déterminer graphiquement une équation d’une droite

Soit (T) la tangente en A à la courbe C. Puisque (T) passe par le point de coordonnées (0;2), elle coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 2, donc son ordonnée à l’origine est égale à 2.

La droite (T) passe par le point A et par le point de coordonnées (0 ; 2), donc son coefficient directeur est 3−21−0=1.

La tangente en A à la courbe C a pour équation :

y=x+2.

▶ 3. Donner par lecture graphique un encadrement d’une aire

L’unité d’aire étant donnée par le quadrillage, l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1 et x=2 est telle que :

3≤A≤4.

▶ 4. Étudier par lecture graphique la convexité d’une fonction

Sur l’intervalle [0,5;6], la courbe C est située en dessous de chacune de ses tangentes. Donc la fonction f est concave sur [0,5;6].

partie b. étude analytique

▶ 1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x de [0,5;6] :

f′(x)=−2+3×1x

f′(x)=−2x+3x.

▶ 2. Étudier le signe de la dérivée et les variations d’une fonction

f′(x)=0⇔−2x+3=0⇔x=32=1,5.

Pour tout x dans [0,5;6], x>0, donc f′(x) est du signe de −2x+3, donc :

si 0,5≤x<1,5, alors −2x+3>0, donc f′(x)>0;

f′(1,5)=0;

si 1,5<x≤6, alors −2x+3<0, donc f′(x)<0.

Donc f est strictement croissante sur [0,5;1,5], strictement décroissante sur [1,5;6]. On peut dresser son tableau de variation :

À 10−2 près :

f(0,5)≈1,92;f(1,5)≈3,22;f(6)≈−1,62.

▶ 3. Montrer qu’une équation admet une unique solution

La fonction f est strictement croissante sur [0,5;1,5], donc pour tout x dans cet intervalle :

f(0,5)≤f(x)≤f(1,5).

Donc f(x)>0. L’équationf(x)=0 n’a donc pas de solution sur l’intervalle [0,5;1,5].

Sur l’intervalle [1,5;6], f est continue et strictement décroissante.

D’autre part, f(1,5)≈3,22, donc f(1,5)>0.

f(6)≈−1,62, donc f(6)<0.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationf(x)=0 a une unique solution α sur [1,5;6].

D’après la calculatrice :

f(4,87)≈0,0093>0 et f(4,88)≈−0,0048<0,

donc f(4,88)<f(α)<f(4,87), donc 4,87<α<4,88.

Sur l’intervalle [0,5;6], l’équationf(x)=0 a une seule solution α, dont une valeur approchée à 10−2 près est 4,88.

▶ 4. Dresser le tableau de signes d’une fonction

Des questions précédentes, on peut déduire que f(x)>0 pour tout x dans [0,5 ; α[ et f(x)<0 pour tout x dans ]α ; 6]. Le tableau de signes de f sur [0,5 ;6] est :

▶ 5. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout x dans l’intervalle [0,5;6] :

F′(x)=−2x+2+3ln(x)+3x×1x

F′(x)=−2x+2+3ln(x)+3

F′(x)=−2x+5+3ln(x)

F′(x)=f(x).

Donc F est une primitive de f sur l’intervalle [0,5;6].

b) Calculer une aire

La fonction f est continue et positive sur l’intervalle [1;2], donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1 et x=2 est :

∫12f(x) dx=[F(x)]12=F(2)−F(1)

∫12f(x) dx=6ln(2)−(−1+2)

∫12f(x) dx=6ln2−1≈3,2(arrondi au dixième)