Fonction logarithme népérien

matT_1606_07_03C

Ens. spécifique

France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 4 • 6 points

Étude graphique et analytique d'une fonction comportant un logarithme

La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,5 6]$ . Les points A (1 3) et B d'abscisse 1,5 sont sur la courbe C.

Les tangentes à la courbe C aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.

On note $f^{'}$ la fonction dérivée de $f$ .

matT_1606_07_01C_02

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a. étude graphique

▶ 1. Déterminer $f^{'} (1,5)$ . (0,25 point)

▶ 2. La tangente à la courbe C au point A passe par le point de coordonnées (0 2).

Déterminer une équation de cette tangente. (0,5 point)

▶ 3. Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ . (0,5 point)

▶ 4. Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur $[0,5 6]$ . Argumenter la réponse. (0,75 point)

partie b. étude analytique

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[0,5 6]$ par :

$f (x) = - 2 x + 5 + 3 \ln (x) .$

▶ 1. Pour tout réel $x$ de $[0,5 6]$ , calculer $f^{'} (x)$ et montrer que :

$f^{'} (x) = \frac{- 2 x + 3}{x}$ . (0,5 point)

▶ 2. Étudier le signe de $f^{'}$ sur $[0,5 6]$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0,5 6]$ . (0,75 point)

▶ 3. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet exactement une solution $α$ sur $[0,5 6]$ .

Donner une valeur approchée de $α$ à $10^{- 2}$ près. (1 point)

▶ 4. En déduire le tableau de signes de $f$ sur $[0,5 6]$ . (0,5 point)

▶ 5. On considère la fonction $F$ définie sur $[0,5 6]$ par :

$F (x) = - x^{2} + 2 x + 3 x \ln (x)$ .

a) Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0,5 6]$ . (0,5 point)

b) En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ . En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. (0,75 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Variations d'une fonction • Théorème des valeurs intermédiaires • Primitive • Intégrale, calculs d'aire.

Les conseils du correcteur

Partie A

▶ 2. L'ordonnée à l'origine d'une droite est l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

▶ 4. Observez la position relative de la courbe représentative de $f$ et de ses tangentes.

Partie B

▶ 3. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

▶ 4. Ne confondez pas signe et sens de variation.

▶ 5. a) Calculez la dérivée de $F$ .

Corrigé

partie a. étude graphique

▶ 1. Lire graphiquement un nombre dérivé

$f^{'} (1,5)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point B d'abscisse 1,5. Or, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0.

$f^{'} (1,5) = 0 .$

▶ 2. Déterminer graphiquement une équation d'une droite

Soit (T) la tangente en A à la courbe C. Puisque (T) passe par le point de coordonnées $(0 2)$ , elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2, donc son ordonnée à l'origine est égale à 2.

Notez bien

Si $M (x_{M} y_{M})$ et $N (x_{N} y_{N})$ sont deux points tels que $x_{M} \neq x_{N}$ , alors la droite (MN) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et son coefficient directeur est :

$m = \frac{y_{N} - y_{M}}{x_{N} - x_{M}}$ .

La droite (T) passe par le point A et par le point de coordonnées (0 2), donc son coefficient directeur est $\frac{3 - 2}{1 - 0} = 1$ .

La tangente en A à la courbe C a pour équation :

$y = x + 2 .$

▶ 3. Donner par lecture graphique un encadrement d'une aire

L'unité d'aire étant donnée par le quadrillage, l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ est telle que :

$3 \leq A \leq 4 .$

▶ 4. Étudier par lecture graphique la convexité d'une fonction

Sur l'intervalle $[0,5 6]$ , la courbe C est située en dessous de chacune de ses tangentes. Donc la fonction $f$ est concave sur $[0,5 6] .$

partie b. étude analytique

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel $x$ de $[0,5 6]$ :

$f^{'} (x) = - 2 + 3 \times \frac{1}{x}$

$f^{'} (x) = \frac{- 2 x + 3}{x} .$

▶ 2. Étudier le signe de la dérivée et les variations d'une fonction

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} = 1,5 .$

Pour tout $x$ dans $[0,5 6]$ , $x > 0$ , donc $f^{'} (x)$ est du signe de $- 2 x + 3$ , donc :

si $0,5 \leq x 1,5$ , alors $- 2 x + 3 > 0$ , donc $f^{'} (x) > 0$

$f^{'} (1,5) = 0$

si $1,5 x\leq6$ , alors $- 2 x + 30$ , donc $f^{'} (x) 0$ .

Donc $f$ est strictement croissante sur $[0,5 1,5]$ , strictement décroissante sur $[1,5 6]$ . On peut dresser son tableau de variation :

matT_1606_07_01C_tab1

À $10^{- 2}$ près :

$f (0,5) \approx 1,92 f (1,5) \approx 3,22 f (6) \approx - 1,62 .$

▶ 3. Montrer qu'une équation admet une unique solution

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0,5 1,5]$ , donc pour tout $x$ dans cet intervalle :

$f (0,5) \leq f (x) \leq f (1,5) .$

Donc $f (x) > 0$ . L'équation $f (x) = 0$ n'a donc pas de solution sur l'intervalle $[0,5 1,5]$ .

Sur l'intervalle $[1,5 6]$ , $f$ est continue et strictement décroissante.

D'autre part, $f (1,5) \approx 3,22$ , donc $f (1,5) > 0$ .

$f (6) \approx - 1,62$ , donc $f (6) 0$ .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (x) = 0$ a une unique solution $α$ sur $[1,5 6]$ .

D'après la calculatrice :

$f (4,87) \approx 0,0093 > 0$ et $f (4,88) \approx - 0,0048 0$ ,

donc $f (4,88) f(α)f(4,87)$ , donc $4,87 α4,88$ .

Sur l'intervalle $[0,5 6]$ , l'équation $f (x) = 0$ a une seule solution $α$ , dont une valeur approchée à $10^{- 2}$ près est 4,88.

Notez bien

$α$ est l'abscisse du point d'intersection de la courbe C et de l'axe des abscisses.

▶ 4. Dresser le tableau de signes d'une fonction

Des questions précédentes, on peut déduire que $f (x) > 0$ pour tout $x$ dans $[0,5 α [$ et $f (x) 0$ pour tout $x$ dans $] α 6]$ . Le tableau de signes de $f$ sur $[0,5 6]$ est :

$x$	0,5		$α$		6
Signe de $f (x)$		+	0	$-$

▶ 5. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

Pour tout $x$ dans l'intervalle $[0,5 6]$ :

$F^{'} (x) = - 2 x + 2 + 3 \ln (x) + 3 x \times \frac{1}{x}$

$F^{'} (x) = - 2 x + 2 + 3 \ln (x) + 3$

$F^{'} (x) = - 2 x + 5 + 3 \ln (x)$

$F^{'} (x) = f (x)$ .

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0,5 6]$ .

b) Calculer une aire

Conseil

N'oubliez pas de vérifier que ce résultat, ainsi que tous les résultats de la partie B, est cohérent avec la courbe donnée et les réponses aux questions de la partie A.

La fonction $f$ est continue et positive sur l'intervalle $[1 2]$ , donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ est :

$\begin{array}{l} \int_{1}^{2} f (x) d x = {[F (x)]}_{1}^{2} \\ = F (2) - F (1) \end{array}$

$\int_{1}^{2} f (x) d x = 6 \ln (2) - (- 1 + 2)$

$\int_{1}^{2} f (x) d x = 6 \ln 2 - 1 \approx 3,2 (arrondi au dixième)$

Étude graphique et analytique d'une fonction comportant un logarithme

partie a. étude graphique

partie b. étude analytique

Les thèmes en jeu

Les conseils du correcteur

Partie A

Partie B

partie a. étude graphique

▶ 1. Lire graphiquement un nombre dérivé

▶ 2. Déterminer graphiquement une équation d'une droite

▶ 3. Donner par lecture graphique un encadrement d'une aire

▶ 4. Étudier par lecture graphique la convexité d'une fonction

partie b. étude analytique

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction

▶ 2. Étudier le signe de la dérivée et les variations d'une fonction

▶ 3. Montrer qu'une équation admet une unique solution

▶ 4. Dresser le tableau de signes d'une fonction

▶ 5. a) Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée

b) Calculer une aire

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