Partie A. lectures graphiques

▶ 1. Déterminer par lecture graphique l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point donné

La tangente à $\mathcal{C}$_f au point d’abscisse 1, c’est-à-dire au point A, est la droite (AB) d’après l’énoncé.

Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à 3, donc $\boxed{f^{\prime }(1)=3}$.

La tangente $\mathcal{T}$ a donc une équation réduite de la forme y = 3x + b. Les coordonnées de A(1 ; – 1) vérifient cette équation, donc - 1 = 3 + b, d’où b = - 4 et $\mathcal{T}$ a pour équation réduite $\boxed{y=3x-4}$.

▶ 2. Étudier graphiquement la convexité d’une fonction

Graphiquement, il semble que :

f est concave sur $]\text{0};1]$ ;

f est convexe sur $[\text{1};+\infty [$ ;

A est un point d’inflexion de $\mathcal{C}$_f.

Partie B. étude analytique

▶ 1. Déterminer les limites d’une fonction aux bornes de son intervalle de définition

En + ∞

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\ln (x)=+\text{∞}$, donc $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\ln (x^2)=+\text{∞}$, et par produit $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }x\ln (x^2)=+\text{∞}$.

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\frac{1}{x}=0$, donc par opérations $\boxed{\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }f(x)=+\text{∞}}$.

En 0

Pour tout x > 0, $f(x)=2x\ln (x)-\frac{1}{x}$ d’après les propriétés du logarithme.

Or, $\underset{x\to 0}{\lim }x\ln (x)=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=+\text{∞}$ car x > 0, donc par opérations $\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-\text{∞}}$.

▶ 2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x dans $]\text{0};+\text{∞}[$, $f^{\prime }(x)=\ln (x^2)+x\times \frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}$.

$\boxed{f^{\prime }(x)=\ln (x^2)+2+\frac{1}{x^2}}$

b) Déterminer l’expression de la dérivée seconde d’une fonction

Pour tout x dans $]\text{0};+\text{∞}[$, $f^{″}(x)=\frac{2x}{x^2}-\frac{2}{x^3}$, soit $f^{″}(x)=\frac{2(x^2-1)}{x^3}$.

En factorisant, $\boxed{f^{″}(x)=\frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}}$.

▶ 3. a) Étudier la convexité d’une fonction

Pour étudier la convexité de f, on étudie le signe de f″(x) sur $]\text{0};+\infty [$.

Pour tout x dans $]\text{0};+\infty [$, x + 1 > 0 et $x^3>0$, donc $f^{″}(x)$ a le signe de x - 1, donc :

si 0 < x ≤ 1, alors $f^{″}(x)\le 0$ ; f est concave sur $]\text{0};\text{1}]$ ;

si x ≥ 1, alors $f^{″}(x)\ge 0$ ; f est convexe sur $[\text{1};+\infty [$.

En 1, $f^{″}$ s’annule et change de signe, donc le point d’abscisse 1, c’est-à-dire le point $\text{A}(\text{1};-1)$ est un point d’inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

b) Étudier les variations d’une fonction

D’après ce qui précède (signe de $f^{″}(x)$), f′ est décroissante sur $]\text{0};\text{1}]$ et croissante sur $[\text{1};+\infty [$.

$f^{\prime }$ a donc un minimum en x = 1 et ce minimum est $f^{\prime }(1)=3$.

Donc, pour tout $x\in [\text{0};+\text{∞}[$ : $f^{\prime }(x)\ge 3$, donc $\boxed{f^{\prime }(x)>0}$.

On en déduit que f est strictement croissante sur $[\text{0};+\infty [$.

▶ 4. a) Montrer qu’une équation admet une unique solution

f est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[,$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\text{α}$ dans $]\text{0};+\infty [$.

b) Déterminer une valeur arrondie et une relation vérifiée par la solution d’une équation

D’après la calculatrice : $f(\mathrm{1,32})\approx -\mathrm{0,025}$ et f(1,33)≈ 0,007, donc 1,32 < α < 1,33 ; $f(\mathrm{1,327})\approx -\mathrm{0,003}$ et $f(\mathrm{1,328})\approx \mathrm{0,0004}$, donc 1,327 < α < 1,328 et 1,33 est la valeur de $\text{α}$ arrondie au centième.

De plus, $f(\text{α})=0\iff \text{α}\ln ({\text{α}}^2)-\frac{1}{\text{α}}=0$

$f(\text{α})=0\iff \ln ({\text{α}}^2)=\frac{1}{{\text{α}}^2}$

$f(\text{α})=0\iff$ $\boxed{{\text{α}}^2=\exp \left(\frac{1}{{\text{α}}^2}\right)}$.