Partie A • lectures graphiques

▶ 1. Déterminer graphiquement un nombre dérivé d’une fonction

$f^{\prime }(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$_A, c’est-à-dire de la droite (AC).

C est le point d’intersection de $\mathcal{T}$_A avec l’axe des abscisses ; C a pour coordonnées (3 ; 0).

$\frac{y_{\text{C}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{C}}-x_{\text{A}}}=\frac{-2}{2}$

donc $f^{\prime }(1)=-1$.

▶ 2. Déterminer graphiquement le nombre de solutions d’une équation

Les solutions de l’équation $f^{\prime }(x)=0$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}$_f où cette courbe possède une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Dans l’intervalle $]\text{0};3]$, l’équation $f^{\prime }(x)=0$ possède donc deux solutions.

▶ 3. Déterminer le signe de la dérivée seconde d’une fonction en un point

D’après le graphique, la fonction f est concave sur l’intervalle $]\text{0};\mathrm{0,6}]$ et $\mathrm{0,2}\in ]\text{0};\text{0,6]}$, donc $f^{″}(\mathrm{0,2})<0$.

Partie B • étude de la fonction f

▶ 1. Résoudre une équation

$2X^2-3X+2=0$ est une équation du second degré. Son discriminant est ∆ = 9 - 4 × 2 × 2, soit ∆ = - 7.

∆ < 0, donc l’équation $2X^2-3X+2=0$ n’a pas de solution dans ℝ.

Les abscisses des points d’intersection de $\mathcal{C}$_f et de l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation $f(x)=0$.

$f(x)=0\iff x\left(2{(\ln x)}^2-3\ln x+2\right)=0$

$f(x)=0\iff x=\text{0 ou }2{(\ln x)}^2-3\ln x+2=0$

Or :

0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de f ;

en posant $X=\ln x$, l’équation $2{(\ln x)}^2-3\ln x+2=0$ s’écrit $2X^2-3X+2=0$ et on a vu précédemment que cette équation n’a pas de solution dans ℝ.

On en déduit que l’équation $f(x)=0$ n’a pas de solution ; la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ne coupe pas l’axe des abscisses.

▶ 2. Déterminer une limite de fonction

$\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$

$2{(\ln x)}^2-3\ln x+2={(\ln x)}^2\left(2-\frac{3}{\ln x}+\frac{2}{{(\ln x)}^2}\right)$

Or on sait que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$, donc par opérations

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2-\frac{3}{\ln x}+\frac{2}{{(\ln x)}^2}\right)=2$, et par produit $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

▶ 3. a) Déterminer la dérivée seconde d’une fonction

Pour tout x appartenant à $]\text{0};+\infty [,$ $f^{\prime }(x)=2{(\ln x)}^2+\ln x-1$, d’où

$f^{″}(x)=2\times 2\ln x\times \frac{1}{x}+\frac{1}{x}$

$f^{″}(x)=\frac{1}{x}(4\ln x+1)$.

b) Étudier la convexité d’une fonction

La convexité de f dépend du signe de sa dérivée seconde.

$\frac{1}{x}>\text{0 }$pour tout x dans $]\text{0};+\infty [$, donc le signe de f′′(x) est celui de $4\ln x+1$.

$f^{″}(x)=0\iff 4\ln x+1=0\iff \ln x=-\frac{1}{4}\iff x={\text{e}}^{-\frac{1}{4}}$.

Si $0<x<{\text{e}}^{-\frac{1}{4}}$, alors $\ln x<-\frac{1}{4}$, donc $4\ln x+1<0$ et $f^{″}(x)<0$.

Si $x>{\text{e}}^{-\frac{1}{4}}$, alors $\ln x>-\frac{1}{4}$, donc $4\ln x+1>0$ et $f^{″}(x)>0$.

Donc f est concave sur $\left]\text{0};{\text{e}}^{-\frac{1}{4}}\right]$ et convexe sur $\left[{\text{e}}^{-\frac{1}{4}};+\infty \right[$.

En $x={\text{e}}^{-\frac{1}{4}}$, $f^{″}$ s’annule et change de signe, donc $\mathcal{C}$_f a un point d’inflexion d’abscisse ${\text{e}}^{-\frac{1}{4}}$.

c) Étudier la position relative de la courbe représentative d’une fonction et de l’une de ses tangentes

${\text{e}}^{-\frac{1}{4}}\approx \mathrm{0,78}$, donc ${\text{e}}^{-\frac{1}{4}}$ < 1 et $[\text{1};+\infty [\subset \left[{\text{e}}^{-\frac{1}{4}};+\infty \right[,$donc f est convexe sur $[\text{1};+\infty [$. Donc sur cet intervalle, $\mathcal{C}$_f est au-dessus de chacune de ses tangentes, $\mathcal{C}$_f est donc en particulier au-dessus de $\mathcal{T}$_B, car l’abscisse de B appartient à l’intervalle $[\text{1};+\infty [$.

partie C • calcul d’aire

▶ 1. Déterminer l’équation d’une tangente à une courbe

$\mathcal{T}$_B a pour coefficient directeur $f^{\prime }(\text{e)}$. D’après l’expression admise à la question 3. de la partie B, on a $f^{\prime }(\text{e)}=2+1-1=2$.

$\mathcal{T}$_B a donc pour équation y = 2x + b.

Les coordonnées de B (e ; e) vérifie cette équation : e = 2e + b, donc b = - e et $\mathcal{T}$_B a pour équation y = 2x - e.

▶ 2. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties

Soit $I={{\displaystyle \int }}_1^{\text{e}}x\ln x \text{d}x$.

Ici on pose $u(x)=\ln x$ et $v^{\prime }(x)=x$ ; alors $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=\frac{x^2}{2}$, et

$I={\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]}_1^{\text{e}}-{{\displaystyle \int }}_1^{\text{e}}\frac{x}{2}\text{d}x$

$I=\frac{{\text{e}}^2}{2}-{\left[\frac{x^2}{4}\right]}_1^{\text{e}}$

$I=\frac{{\text{e}}^2}{2}-\frac{{\text{e}}^2}{4}+\frac{1}{4}$

$I=\frac{{\text{e}}^2+1}{4}$.

▶ 3. Calculer l’aire d’un domaine délimité par la courbe représentative d’une fonction

$\mathcal{C}$_f est au-dessus de $\mathcal{T}$_B sur l’intervalle $[\text{1};\text{e]}$ (question B 3. c).

D’après l’équation de $\mathcal{T}$_B déterminée à la question 1. de cette partie :

$\mathcal{A}={{\displaystyle \int }}_1^{\text{e}}(f(x)-2x+\text{e}) \text{d}x$

$\mathcal{A}={{\displaystyle \int }}_1^{\text{e}}(2x{(\ln x)}^2-3x\ln x+\text{e}) \text{d}x$

$\mathcal{A}=2{{\displaystyle \int }}_1^{\text{e}}x{(\ln x)}^2\text{d}x-3{{\displaystyle \int }}_1^{\text{e}}x\ln x \text{d}x+\text{e}{\left[x\right]}_1^{\text{e}}$

$\mathcal{A}=2\frac{{\text{e}}^2-1}{4}-3\frac{{\text{e}}^2+1}{4}+\text{e}(\text{e}-1)$

$\mathcal{A}=\frac{2{\text{e}}^2-2-3{\text{e}}^2-3+4{\text{e}}^2-4\text{e}}{4}$

$\mathcal{A}=\frac{3{\text{e}}^2-4\text{e}-\text{5}}{4}$ (en unités d’aire).