Partie A • Exploitation du graphique

▶ 1. Conjecturer graphiquement une valeur et un nombre dérivé d’une fonction

f(-1) est l’ordonnée du point B, donc $f(-1)$ semble être égal à $-2$.

$f^{\prime }(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$_f au point B, c’est-à-dire de la droite (AB). Avec A(0 ; −1) et B(−1 ; −2), $\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\frac{-2+1}{-1}$, donc $f^{\prime }(-1)$ semble être égal à 1.

▶ 2. Étudier graphiquement la convexité d’une fonction

La fonction f ne semble pas convexe sur son ensemble de définition ; en effet par exemple $\mathcal{C}$_f semble située en dessous de sa tangente au point d’abscisse - 1,8.

$\mathcal{C}$_f ne semble donc pas située au-dessus de chacune de ses tangentes, f ne semble pas convexe sur son ensemble de définition.

▶ 3. Conjecturer le nombre de solutions d’une équation

L’équation $f(x)=0$ semble avoir une seule solution, car la courbe $\mathcal{C}$_f semble avoir un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses.

Une valeur approchée de cette solution, c’est-à-dire de l’abscisse du point commun à $\mathcal{C}$_f et à l’axe des abscisses, semble être 0,1.

Partie B • Étude de la fonction f

▶ 1. Déterminer une limite d’une fonction

$\underset{x\to -2}{\lim }(x^2+2x-1)=-1$ et $\underset{x\to -2}{\lim }\ln (x+2)=-\text{∞}$ (x + 2 > 0 car

x >- 2). Par somme $\boxed{\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=-\infty }$.

On en déduit que la droite d’équation $x=-2$ est asymptote à ${\mathcal{C}}_f$.

▶ 2. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x > - 2 :

$f^{\prime }(x)=2x+2+\frac{1}{x+2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2}$

$\boxed{f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+6x+5}{x+2}}$

▶ 3. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Si $x\in \text{]}-2;+\text{∞[}$, alors x + 2 > 0, donc f′(x) a le signe de $2x^2+6x+5$.

On calcule le discriminant Δ de ce trinôme : Δ = 36 - 4 × 2 × 5 = - 4.

Δ < 0, donc $2x^2+6x+5>0$ et $f^{\prime }(x)>0$ pour tout $x\in ]-2;+\text{∞}[$.

f est strictement croissante sur $]-2;+\infty [$. Tableau de variations :

▶ 4. Montrer qu’une équation admet une unique solution

f est strictement croissante sur $]-\text{2};+\infty [$,$\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\text{α}$ sur $\text{]}-2;+\text{∞[}$.

D’après la calculatrice, on a $f(\mathrm{0,11})\approx -\mathrm{0,021}$ et $f(\mathrm{0,12})\approx \mathrm{0,006}$, donc $f(\mathrm{0,11})<f(\text{α})<f(\mathrm{0,12})$, donc 0,11 < α < 0,12.

Plus précisément, $f(\mathrm{0,117})\approx -\mathrm{0,0023}$ et $f(\mathrm{0,118})\approx 4\cdot {10}^{-4}$, donc $f(\mathrm{0,117})<f(\text{α})<f(\mathrm{0,118})$, donc 0,117 < α < 0,118.

0,12 est donc la valeur arrondie de $\text{α}$ à ${10}^{-2}$ près.

▶ 5. Donner le signe d’une fonction

D’après les deux questions précédentes :

si - 2 < x < α, alors $f(x)<0$ ;

$f(\text{α})=0$ ;

si x > α, alors $f(x)>0$.

▶ 6. Montrer qu’une courbe admet un point d’inflexion

On calcule la dérivée seconde de f. Pour tout $x\in \text{]}-2;+\text{∞[}$ :

$f^{″}(x)=\frac{(4x+6)(x+2)-(2x^2+6x+5)}{{(x+2)}^2}$, soit $f^{″}(x)=\frac{2x^2+8x+7}{{(x+2)}^2}$.

${(x+2)}^2>0$ pour tout $x\in \text{]}-2;+\text{∞[}$, donc $f^{″}(x)$ a le signe de $2x^2+8x+7$.

On calcule le discriminant Δ de ce trinôme : Δ = 64 - 4 × 2 × 7 = 8.

Δ > 0, donc le trinôme $2x^2+8x+7$ possède deux racines réelles

$x_1=\frac{-8-\sqrt[]{8}}{4}=\frac{-4-\sqrt[]{2}}{2}$ et $x_2=\frac{-4+\sqrt[]{2}}{2}$.

x₁ < - 2, donc $x_1\notin \text{]}-2;+\text{∞[}$ ; x₂ ≈ - 1,3

On en déduit le signe de $f^{″}(x)$ sur l’intervalle $\text{]}-2;+\text{∞[}$ :

si - 2 < x < x₂, alors $f^{″}(x)<0$ ;

$f^{″}(x_2)=0$ ;

si x > x₂, alors $f^{″}(x)>0$.

Donc $f^{″}(x)$ s’annule et change de signe en x₂, donc ${\mathcal{C}}_f$ a un unique point d’inflexion d’abscisse $x_2=\frac{-4+\sqrt[]{2}}{2}$.

Partie C • Une distance minimale

▶ 1. Déterminer l’expression du carré de la distance de deux points

On a J(0 ; 1) et $\text{M}(x;\ln (x+2))$. D’après la formule permettant de calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées dans un repère orthonormé du plan, on a : $\boxed{h(x)={\text{JM}}^2=x^2+{\left[\ln (x+2)-1\right]}^2}$.

▶ 2. a) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Pour tout $x\in \text{]}-2;+\text{∞[}$, $h^{\prime }(x)=\frac{2f(x)}{x+2}$. Or x + 2 > 0, donc h′(x) a le signe de f(x) ; ce signe a été étudié dans la partie B. Donc :

si - 2 < x < α, alors $f(x)<0$, donc $h^{\prime }(x)<0$ ;

$f(\text{α})=0$, donc $h^{\prime }(\text{α})=0$ ;

si x > α, alors $f(x)>0$, donc $h^{\prime }(x)>0$.

D’où le tableau de variations :

b) Déterminer la valeur de la variable où une fonction atteint son minimum

D’après ce qui précède, h(x), c’est-à-dire ${\text{JM}}^2$, est minimal pour x = α.

Puisque $\text{JM}=\sqrt[]{{\text{JM}}^2}$ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition, on en déduit que la distance $\text{JM}$ est également minimale lorsque $x=\text{α}$.

▶ 3. a) Montrer une égalité

On a $f(\text{α})=0$, c’est-à-dire ${\text{α}}^2+2\text{α}-1+\ln (\text{α}+2)=0,$soit :

$\boxed{\ln (\text{α}+2)=1-2\text{α}-{\text{α}}^2}$

b) Prouver l’orthogonalité de deux droites du plan

La tangente à $\mathcal{C}$_g en M_α a pour coefficient directeur g′(α), c’est-à-dire $\frac{1}{\text{α}+2}$.

On a J(0 ; 1) et ${\text{M}}_{\text{α}}(\text{α};\ln (\text{α}+2))$, donc le coefficient directeur de la droite (JM_α) est $\frac{\ln (\text{α}+2)-1}{\text{α}}$, soit $\frac{1-2\text{α}-{\text{α}}^2-1}{\text{α}}$, c’est-à-dire - 2 - α.

Le produit des coefficients directeurs de ces deux droites est $\frac{1}{\text{α}+2}\times (-2-\text{α})$, c’est-à-dire - 1.

La tangente à $\mathcal{C}$_g en M_α et la droite (JM_α) ont des coefficients directeurs dont le produit est égal à - 1, donc ces deux droites sont perpendiculaires.