Fonctions exponentielles

Ens. spécifique

matT_1706_02_03C

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 4 • 6 points • ⏱ 50 min

Étude graphique et théorique d'une fonction

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Convexité.

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0,7 6] on suppose que f est dérivable.

partie a. étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

matT_1706_02_00C_05

▶ 1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3 4) et B(4 0). Déterminer f′(3). (0,75 point)

▶ 2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f′ sur l'intervalle [0,7 6]. (0,75 point)

partie b. étude théorique

On admet que la fonction f est définie par $f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) e^{- 2 x + 6}$ .

▶ 1. Montrer que $f^{'} (x) = (- 2 x^{2} + 6 x - 4) e^{- 2 x + 6}$ , où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)

▶ 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7 6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7 6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)

▶ 3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

L1	$f^{'} (x) : = (- 2 x^2 + 6 x - 4) *e^(- 2 x + 6)$ → $f^{'} (x) = (- 2 x^{2} + 6 x - 4) e^{- 2 x + 6}$
L2	g(x) : = Dérivée [f′(x)] → g(x) = $- 16 x e^{- 2 x + 6} + 4 x^{2} e^{- 2 x + 6} + {14e}^{- 2 x + 6}$
L3	Factoriser [g(x)] → $2 e^{- 2 x + 6} (2 x^{2} - 8 x + 7)$
L4	Résoudre [g(x) = 0] → ${x = \frac{- \sqrt[]{2} + 4}{2} x = \frac{\sqrt[]{2} + 4}{2}}$
L5	F(x) : = Primitive [f(x)] → $F (x) = \frac{1}{4} (- 2 x^{2} + 2 x - 1) e^{- 2 x + 6}$

a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)

b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse. (1 point)

c) On pose $I = \int_{3}^{5} f (x) d x$ . Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à $10^{- 1}$ . (0,75 point)

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. $f^{'} (3)$ est le coefficient directeur de la droite (AB).

▶ 2. Le signe de f′ est lié au sens de variation de f.

Partie B

▶ 3. c) Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel.

Corrigé

partie a. étude graphique

▶ 1. Déterminer un nombre dérivé

La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f est la droite (AB) et f′(3) est son coefficient directeur, d'où :

$f^{'} (3) = \frac{0 - 4}{4 - 3}$

$f^{'} (3) = - 4$

▶ 2. Donner par lecture graphique le signe de la dérivée d'une fonction

D'après le graphique, f est strictement décroissante sur [0,7 1], strictement croissante sur [1 2], strictement décroissante sur [2 6] elle possède un minimum local en x = 1 et un maximum local en x = 2, d'où le tableau de signes de f′ sur [0,7 6] :

x	0,7		1		2		6
Signe de $f^{'} (x)$		-	0	+	0	-

partie b. étude théorique

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = (2 x - 2) e^{- 2 x + 6} - 2 (x^{2} - 2 x + 1) e^{- 2 x + 6} \\ f^{'} (x) = (2 x - 2 - 2 x^{2} + 4 x - 2) e^{- 2 x + 6} \\ f^{'} (x) = (- 2 x^{2} + 6 x - 4) e^{- 2 x + 6} \end{array}$

▶ 2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle

Pour tout x appartenant à [0,7 6], $e^{- 2 x + 6} > 0$ , donc $f^{'} (x)$ a le signe de $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

Ce trinôme a pour discriminant Δ = 36 - 32 = 4 et pour racines réelles $x_{1} = \frac{- 6 - 2}{- 4} = 2$ et $x_{2} = \frac{- 6 + 2}{- 4} = 1$ . Il est négatif (« du signe de a ») pour x 1 et x > 2, positif si 1 x 2.

On en déduit le tableau de variations de f :

matT_1706_02_00C_tab_1

▶ 3. a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave

D'après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, f est deux fois dérivable sur [0,7 6], et pour tout x dans cet intervalle :

$f^{″} (x) = 2 e^{- 2 x + 6} (2 x^{2} - 8 x + 7)$ .

$f^{″} (x) = 0$ si et seulement si $x = \frac{- \sqrt[]{2} + 4}{2} \approx 1,3$ ou $x = \frac{\sqrt[]{2} + 4}{2} \approx 2,7$ .

Pour tout x appartenant à [0,7 6], $e^{- 2 x + 6} > 0$ , donc $f^{″} (x)$ a le signe de $2 x^{2} - 8 x + 7$ .

Or, f est concave sur un intervalle si et seulement si $f^{″}$ est négative sur cet intervalle.

Donc $f$ est concave sur l'intervalle $[\frac{- \sqrt[]{2} + 4}{2} \frac{\sqrt[]{2} + 4}{2}]$ .

b) Déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction

La courbe représentative de f admet un point d'inflexion d'abscisse a si et seulement si la dérivée seconde f″ s'annule et change de signe en a. D'après les résultats donnés, la courbe représentative de $f$ admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives $\frac{- \sqrt[]{2} + 4}{2}$ et $\frac{\sqrt[]{2} + 4}{2}$ .

c) Calculer une intégrale

D'après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, la fonction :

$F : x \mapsto \frac{1}{4} (- 2 x^{2} + 2 x - 1) e^{- 2 x + 6}$

est une primitive de f sur [0,7 6].

$I = F (5) - F (3)$

$I = - \frac{41}{4} e^{- 4} + \frac{13}{4}$ .

En arrondissant à $10^{- 1}$ :

$I \approx 3,1$

Étude graphique et théorique d'une fonction

partie a. étude graphique

partie b. étude théorique

Partie A

Partie B

partie a. étude graphique

▶ 1. Déterminer un nombre dérivé

▶ 2. Donner par lecture graphique le signe de la dérivée d'une fonction

partie b. étude théorique

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction

▶ 2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle

▶ 3. a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave

b) Déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction

c) Calculer une intégrale

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