Fonctions exponentielles
Ens. spécifique
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matT_1706_02_03C
Amérique du Nord • Juin 2017
Exercice 4 • 6 points • ⏱ 50 min
Étude graphique et théorique d'une fonction
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Convexité.
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0,7 6] on suppose que f est dérivable.
partie a. étude graphique
On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.
▶ 1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3 4) et B(4 0). Déterminer f′(3). (0,75 point)
▶ 2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f′ sur l'intervalle [0,7 6]. (0,75 point)
partie b. étude théorique
On admet que la fonction f est définie par .
▶ 1. Montrer que , où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)
▶ 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7 6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7 6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)
▶ 3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.
L1 | → |
L2 | g(x) : = Dérivée [f′(x)] → g(x) = |
L3 | Factoriser [g(x)] → |
L4 | Résoudre [g(x) = 0] → |
L5 | F(x) : = Primitive [f(x)] → |
a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)
b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse. (1 point)
c) On pose . Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à . (0,75 point)
Les clés du sujet
Partie A
▶ 1. est le coefficient directeur de la droite (AB).
▶ 2. Le signe de f′ est lié au sens de variation de f.
Partie B
▶ 3. c) Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel.
Corrigé
partie a. étude graphique
▶ 1. Déterminer un nombre dérivé
La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f est la droite (AB) et f′(3) est son coefficient directeur, d'où :
▶ 2. Donner par lecture graphique le signe de la dérivée d'une fonction
D'après le graphique, f est strictement décroissante sur [0,7 1], strictement croissante sur [1 2], strictement décroissante sur [2 6] elle possède un minimum local en x = 1 et un maximum local en x = 2, d'où le tableau de signes de f′ sur [0,7 6] :
x | 0,7 | 1 | 2 | 6 | |||
Signe de | - | 0 | + | 0 | - |
partie b. étude théorique
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout réel x :
▶ 2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle
Pour tout x appartenant à [0,7 6], , donc a le signe de .
Ce trinôme a pour discriminant Δ = 36 - 32 = 4 et pour racines réelles et . Il est négatif (« du signe de a ») pour x 1 et x > 2, positif si 1 x 2.
On en déduit le tableau de variations de f :
▶ 3. a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave
D'après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, f est deux fois dérivable sur [0,7 6], et pour tout x dans cet intervalle :
.
si et seulement si ou .
Pour tout x appartenant à [0,7 6], , donc a le signe de .
Or, f est concave sur un intervalle si et seulement si est négative sur cet intervalle.
Donc est concave sur l'intervalle .
b) Déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction
La courbe représentative de f admet un point d'inflexion d'abscisse a si et seulement si la dérivée seconde f″ s'annule et change de signe en a. D'après les résultats donnés, la courbe représentative de admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives et .
c) Calculer une intégrale
D'après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, la fonction :
est une primitive de f sur [0,7 6].
.
En arrondissant à :