Étude graphique et théorique d’une fonction

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Étude graphique et théorique d’une fonction

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Convexité.

 

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0,7 ; 6] ; on suppose que f est dérivable.

partie a. étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

matT_1706_02_00C_05

1. La tangente au point d’abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3 ; 4) et B(4 ; 0). Déterminer f(3). (0,75 point)

2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. (0,75 point)

partie b. étude théorique

On admet que la fonction f est définie par f(x)=(x22x+1)e2x+6.

1. Montrer que f(x)=(2x2+6x4)e2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)

2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)

3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

L1

f(x):=(2x^2+6x4)*e^(2x+6) 

f(x)=(2x2+6x4)e2x+6

L2

g(x) : = Dérivée [f(x)]

g(x= 16xe2x+6+4x2e2x+6+14e2x+6

L3

Factoriser [g(x)]

2e2x+6(2x28x+7)

L4

Résoudre [g(x) = 0]

{x=2+42;x=2+42}

L5

F(x) : = Primitive [f(x)]

F(x) = 14(2x2+2x1)e2x+6

a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)

b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse. (1 point)

c) On pose I=35f(x) dx. Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à 101. (0,75 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. f(3) est le coefficient directeur de la droite (AB).

2. Le signe de f est lié au sens de variation de f.

Partie B

3. c) Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel.