Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0,7 ; 6] ; on suppose que f est dérivable.

partie a. étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

▶ 1. La tangente au point d’abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3 ; 4) et B(4 ; 0). Déterminer f′(3). (0,75 point)

▶ 2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f′ sur l’intervalle [0,7 ; 6]. (0,75 point)

partie b. étude théorique

On admet que la fonction f est définie par $f(x)=(x^2-2x+1){\text{e}}^{-2x+6}$.

▶ 1. Montrer que $f^{\prime }(x)=(-2x^2+6x-4){\text{e}}^{-2x+6}$, où f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)

▶ 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)

▶ 3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)

b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse. (1 point)

c) On pose $I={\displaystyle {\int }_3^{5}f(x) \text{d}x}$. Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à ${10}^{-1}$. (0,75 point)