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Étude graphique et théorique d'une fonction

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Étude graphique et théorique d'une fonction

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Convexité.

 

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0,7  6]  on suppose que f est dérivable.

partie a. étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

matT_1706_02_00C_05

1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3  4) et B(4  0). Déterminer f(3). (0,75 point)

2. D'après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l'intervalle [0,7  6]. (0,75 point)

partie b. étude théorique

On admet que la fonction f est définie par f(x)=(x22x+1)e2x+6.

1. Montrer que f(x)=(2x2+6x4)e2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)

2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7   6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0,7   6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

L1

f(x):=(2x^2+6x4)*e^(2x+6) 

f(x)=(2x2+6x4)e2x+6

L2

g(x) : = Dérivée [f(x)]

g(x= 16xe2x+6+4x2e2x+6+14e2x+6

L3

Factoriser [g(x)]

2e2x+6(2x28x+7)

L4

Résoudre [g(x) = 0]

{x=2+42x=2+42}

L5

F(x) : = Primitive [f(x)]

F(x) = 14(2x2+2x1)e2x+6

a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)

b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ? Si oui, en donner l'abscisse. (1 point)

c) On pose I=35f(x) dx. Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à 101. (0,75 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. f(3) est le coefficient directeur de la droite (AB).

2. Le signe de f est lié au sens de variation de f.

Partie B

3. c) Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel.

Corrigé

partie a. étude graphique

1. Déterminer un nombre dérivé

La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f est la droite (AB) et f(3) est son coefficient directeur, d'où :

f(3)=0443

f(3)=4

2. Donner par lecture graphique le signe de la dérivée d'une fonction

D'après le graphique, f est strictement décroissante sur [0,7  1], strictement croissante sur [1  2], strictement décroissante sur [2  6]  elle possède un minimum local en x = 1 et un maximum local en x = 2, d'où le tableau de signes de f sur [0,7  6] :

x

0,7

 

1

 

2

 

6

Signe de f(x)

 

-

0

+

0

-

 

partie b. étude théorique

1. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel x :

f(x)=(2x2)e2x+62(x22x+1)e2x+6f(x)=(2x22x2+4x2)e2x+6f(x)=(2x2+6x4)e2x+6 

2. Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle

Pour tout x appartenant à [0,7  6], e2x+6>0, donc f(x) a le signe de 2x2+6x4.

Ce trinôme a pour discriminant Δ = 36 - 32 = 4 et pour racines réelles x1=624=2 et x2=6+24=1. Il est négatif (« du signe de a ») pour x  1 et x > 2, positif si 1  x  2.

On en déduit le tableau de variations de f :

matT_1706_02_00C_tab_1

3. a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave

D'après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, f est deux fois dérivable sur [0,7  6], et pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=2e2x+6(2x28x+7).

f(x)=0 si et seulement si x=2+421,3  ou x=2+422,7.

Pour tout x appartenant à [0,7  6], e2x+6>0, donc f(x) a le signe de 2x28x+7.

Or, f est concave sur un intervalle si et seulement si f est négative sur cet intervalle.

Donc f est concave sur l'intervalle [2+422+42].

b) Déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction

La courbe représentative de f admet un point d'inflexion d'abscisse a si et seulement si la dérivée seconde f s'annule et change de signe en a. D'après les résultats donnés, la courbe représentative de f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives 2+42 et 2+42.

c) Calculer une intégrale

D'après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, la fonction :

F:x14(2x2+2x1)e2x+6

est une primitive de f sur [0,7  6].

I=F(5)F(3)

I=414e4+134.

En arrondissant à 101 :

I3,1

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