Étude graphique et théorique d’une production de poulies

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude graphique et théorique d’une production de poulies
 
 

Analyse • Fonctions exponentielles

12

Ens. spécifique

matT_1306_07_02C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 3 • 5 points

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l’intervalle ).

Le bénéfice hebdomadaire est noté , il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction .

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

Étude graphique

On a représenté, en annexe, la fonction  dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

>1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros. (0,5 point)

>2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? (0,5 point)

Partie B

Étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire, noté , exprimé en milliers d’euros, vaut :

.

>1.a) On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que pour tout réel de l’intervalle , on a :

. (0,75 point)

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l’intervalle .

(0,5 point)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle . On indiquera les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle. (0,75 point)

>2.a) Justifier que l’équation admet deux solutions , l’une dans l’intervalle [0 ; 3], l’autre dans l’intervalle [3 ; 3,6]. (1 point)

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. (1 point)

Annexe


 

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée usuelle • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Tracez la droite d’équation et déterminez les points d’intersection de cette droite avec la courbe.

>2. Déterminez le point de la courbe d’ordonnée maximale.

Partie B

>1.a) Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

>1.b) La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

>2.a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

Partie A

>1. Résoudre graphiquement une inéquation

Un bénéfice hebdomadaire égal à 13 000 euros correspond à . On trace la droite d’équation , on détermine les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de cette droite.

Graphiquement, on observe qu’un point de la courbe est au-dessus de la droite d’équation si et seulement si son abscisse est telle que (voir figure ci-après).

Le bénéfice est donc supérieur ou égal à 13 000 euros si et seulement si l’entreprise fabrique entre 2460 et 3400 poulies.

>2. Déterminer graphiquement le maximum d’une fonction

 

Notez bien

Le point de la courbe d’ordonnée maximale a pour coordonnées (approximativement) (3 ; 15,1).

D’après la courbe, le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise est environ 15 100 € ; il est réalisé pour 3 000 poulies fabriquées et vendues.


 

Partie B

>1.a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel de l’intervalle  :

.

Donc :

b) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

pour tout réel , donc est du signe de Donc :

c) Dresser le tableau de variation d’une fonction

De la question précédente on peut déduire le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle  :


 

 ;

>2.a) Montrer qu’une équation possède exactement deux solutions

La fonction  est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3] ;  ; . Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation a une solution unique  dans l’intervalle [0 ; 3] .

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [3 ; 3,6] ;  ; . Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation a une solution unique  dans l’intervalle [3 ; 3,6] .

Donc l’équationadmet exactement deux solutions dans l’intervalle [0 ; 3,6].

b) Déterminer une valeur approchée des deux solutions d’une équation

 

Notez bien

Ces résultats sont cohérents avec ceux obtenus par lecture graphique dans la partie A.

À l’aide de la calculatrice :

donc .

donc .