Étude graphique et théorique d’une production de poulies

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Étude graphique et théorique d&rsquo une production de poulies
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Analyse &bull Fonctions exponentielles

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Ens. spécifique

matT_1306_07_02C

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France métropolitaine &bull Juin 2013

Exercice 3 &bull 5 points

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l&rsquo industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L&rsquo entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l&rsquo intervalle ).

Le bénéfice hebdomadaire est noté , il est exprimé en milliers d&rsquo euros.

L&rsquo objet de cet exercice est d&rsquo étudier cette fonction .

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l&rsquo une de l&rsquo autre.

Partie A

Étude graphique

On a représenté, en annexe, la fonction  dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

&gt 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros. (0,5 point)

&gt 2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l&rsquo entreprise ?

Pour quel nombre de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? (0,5 point)

Partie B

Étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire, noté , exprimé en milliers d&rsquo euros, vaut :

.

&gt 1.a) On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que pour tout réel de l&rsquo intervalle , on a :

. (0,75 point)

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l&rsquo intervalle .

(0,5 point)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur l&rsquo intervalle . On indiquera les valeurs de la fonction aux bornes de l&rsquo intervalle. (0,75 point)

&gt 2.a) Justifier que l&rsquo équation admet deux solutions , l&rsquo une dans l&rsquo intervalle [0  3], l&rsquo autre dans l&rsquo intervalle [3  3,6]. (1 point)

b) À l&rsquo aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. (1 point)

Annexe


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Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée usuelle &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Fonction exponentielle &bull Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. Tracez la droite d&rsquo équation et déterminez les points d&rsquo intersection de cette droite avec la courbe.

&gt 2. Déterminez le point de la courbe d&rsquo ordonnée maximale.

Partie B

&gt 1.a) Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

&gt 1.b) La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

&gt 2.a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.