Étude graphique et théorique d’une production de poulies

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étude graphique et théorique d’une production de poulies
 
 

Analyse • Fonctions exponentielles

12

Ens. spécifique

matT_1306_07_02C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 3 • 5 points

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l’intervalle ).

Le bénéfice hebdomadaire est noté , il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction .

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

Étude graphique

On a représenté, en annexe, la fonction  dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

>1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros. (0,5 point)

>2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? (0,5 point)

Partie B

Étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire, noté , exprimé en milliers d’euros, vaut :

.

>1.a) On note la fonction dérivée de la fonction .

Montrer que pour tout réel de l’intervalle , on a :

. (0,75 point)

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée sur l’intervalle .

(0,5 point)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle . On indiquera les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle. (0,75 point)

>2.a) Justifier que l’équation admet deux solutions , l’une dans l’intervalle [0  3], l’autre dans l’intervalle [3  3,6]. (1 point)

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. (1 point)

Annexe


 

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée usuelle • Variations d’une fonction • Fonction exponentielle • Théorème des valeurs intermédiaires.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Tracez la droite d’équation et déterminez les points d’intersection de cette droite avec la courbe.

>2. Déterminez le point de la courbe d’ordonnée maximale.

Partie B

>1.a) Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

>1.b) La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

>2.a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.