Étude à l'aide d'un graphe de la répartition par niveau des adhérents d'un club de sport

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Septembre 2014

Exercice 2 • 5 points

Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d’apprentissage :

DÉBUTANT (D), CONFIRMÉ (C) et EXPERT (E).

Au 1er septembre 2012, lors de l’inscription, le club comptait :

30 % de débutants ;

50 % de confirmés ;

20 % d’experts.

D’une année sur l’autre, on constate que :

parmi les adhérents de niveau débutant, 40 % restent à ce niveau et 60 % passent au niveau confirmé ;

parmi les adhérents de niveau confirmé, 60 % restent à ce niveau et 40 % passent au niveau expert ;

parmi les adhérents de niveau expert, 80 % restent à ce niveau, 10 % redescendent au niveau confirmé et les autres 10 % préfèrent reprendre les bases au niveau débutant.

On considère qu’il n’y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.

Soit 4448237-Eqn25 la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d’apprentissage D, C et E au 1er septembre de l’année 4448237-Eqn26 pour tout entier naturel 4448237-Eqn27.

1. a) Donner sans justification la matrice 4448237-Eqn28. (0,5 point)

b) Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E. (1 point)

On donne la matrice carrée 4448237-Eqn29 de transition en respectant l’ordre D, C, E des sommets :

4448237-Eqn30.

Dans la suite de l’exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au millième) :

4448237-Eqn31

2. Dans cette matrice on lit 0,6 et 0,8 en gras.

a) Préciser, à l’aide d’une phrase, à quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée. (0,5 point)

b) Calculer 4448237-Eqn32. (0,5 point)

c) Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1er septembre 2017. Les résultats seront donnés à 0,1 % près. (0,5 point)

3. a) En calculant 4448237-Eqn33, émettre une conjecture sur la matrice 4448237-Eqn34 correspondant à l’état probabiliste stable. (0,75 point)

b) Vérifier cette conjecture. (0,75 point)

c) Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Graphe probabiliste

Les conseils du correcteur

1. b) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

2. c) D’après le cours, pour tout entier naturel non nul 4448237-Eqn72, 4448237-Eqn73.

3. b) L’état probabiliste stable est associé à l’unique matrice ligne 4448237-Eqn74 dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que 4448237-Eqn75.

Corrigé

Corrigé

1. a) Donner une matrice ligne décrivant un état initial

Gagnez des points !

On ne demande pas de justification, mais les coefficients de 4448237-Eqn161 traduisent les données de l’énoncé : en 2012, le club comptait 30 % de débutants, 50 % de confirmés et 20 % d’experts.

4448237-Eqn162

b) Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe suivant :

matT_1409_07_00C_04

2. a) Donner une interprétation de deux coefficients d’une matrice de transition

Le nombre 0,6 est situé à l’intersection de la première ligne et de la deuxième colonne de la matrice M.

Le nombre 0,6 correspond donc aux 60 % des adhérents du niveau débutant qui, d’une année sur l’autre, passent au niveau confirmé.

Le nombre 0,8 est situé à l’intersection de la troisième ligne et de la troisième colonne de la matrice M.

Le nombre 0,8 correspond donc aux 80 % des adhérents du niveau expert qui, d’une année sur l’autre, restent à ce niveau.

b) Déterminer une matrice ligne décrivant un état probabiliste

4448237-Eqn163, donc :

4448237-Eqn164

c) Déterminer une répartition en pourcentages correspondant à un état probabiliste

4448237-Eqn165, donc la répartition des adhérents en 2017 est donnée par la matrice 4448237-Eqn166.

4448237-Eqn167, donc :

4448237-Eqn168.

En 2017, il devrait y avoir environ 9,5 % de débutants, 30,5 % de confirmés et 60 % d’experts.

3. a) Émettre une conjecture sur l’état probabiliste stable

4448237-Eqn169, donc :

4448237-Eqn170.

On conjecture que la matrice 4448237-Eqn171 correspondant à l’état probabiliste stable est :

4448237-Eqn172

b) Vérifier une conjecture

4448237-Eqn173 ; la somme des coefficients est égale à 1.

La matrice ligne donnée correspond donc à un état probabiliste.

Elle correspond à l’état probabiliste stable si et seulement si 4448237-Eqn174.

4448237-Eqn175.

Donc l’état probabiliste stable est bien donné par la matrice :

4448237-Eqn176.

c) Interpréter un état probabiliste stable

D’après la question précédente, à long terme, la répartition des adhérents du club tendra vers 10 % de débutants, 30 % de confirmés et 60 % d’experts.