Étude à l’aide d’une suite du nombre d’arbres d’une forêt

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Étude à l’aide d’une suite du  nombre  d’arbres  d’une forêt

Suites numériques

matT_1405_02_07C

Ens. spécifique

9

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 4 • 5  points

Afin d’entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5  % des arbres existants et de replanter 3  000 arbres.

Le nombre d’arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée désigne le nombre d’arbres au cours de l’année .

En 2013, la forêt compte 50  000 arbres.

>1. a) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2014. (0,5  point)

b) Montrer que la suite est définie par et pour tout entier naturel par la relation . (0,5  point)

>2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par  :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.

Déterminer son premier terme. (0,75  point)

b) Exprimer en fonction de . (0,25  point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a  :

. (0,5  point)

d) Déterminer la limite de la suite . (0,25  point)

e) Interpréter le résultat précédent. (0,25  point)

>3. a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation  :

. (0,5  point)

b) Interpréter ce résultat. (0,25  point)

>4. a) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel. (0,75  point)


Algorithme 1

Variables

A, U, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de A

N prend la valeur 0

U prend la valeur 50  000

Tant que U

N prend la valeur N+1

U prend la valeur

0,95*U + 3  000

Fin tant que

Afficher N

Fin algorithme



Algorithme 2

Variables

U, I, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de N

U prend la valeur 50  000

Pour I variant de 1 à N

U prend la valeur

0,95*U + 3  000

Fin pour

Afficher U

Fin algorithme



Algorithme 3

Variables

U, I, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de N

U prend la valeur 50  000

Pour I variant de 1 à N

Afficher U

U prend la valeur

0,95*U + 3  000

Fin pour

Afficher U

Fin algorithme

b) Lorsque A = 57  000, l’algorithme 1 affiche la valeur 24. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,5  point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Boucle «  Pour  » • Boucle avec arrêt conditionnel «  Tant que  » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>4.a) N’oubliez pas que l’on souhaite un algorithme affichant tous les termes de la suite du rang 0 au rang . Lorsqu’un algorithme calcule un nombre, il ne l’affiche que lorsqu’il rencontre une instruction d’affichage.

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