Étude à l’aide d’une suite du nombre d’arbres d’une forêt

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Étude à l’aide d’une suite du nombre d’arbres d’une forêt

Suites numériques

matT_1405_02_07C

Ens. spécifique

9

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 4 • 5 points

Afin d’entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

Le nombre d’arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée désigne le nombre d’arbres au cours de l’année .

En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

>1. a) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2014. (0,5 point)

b) Montrer que la suite est définie par et pour tout entier naturel par la relation . (0,5 point)

>2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.

Déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,25 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

d) Déterminer la limite de la suite . (0,25 point)

e) Interpréter le résultat précédent. (0,25 point)

>3. a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

. (0,5 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,25 point)

>4. a) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel. (0,75 point)


Algorithme 1

Variables

A, U, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de A

N prend la valeur 0

U prend la valeur 50 000

Tant que U < A

N prend la valeur N+1

U prend la valeur

0,95*U + 3 000

Fin tant que

Afficher N

Fin algorithme



Algorithme 2

Variables

U, I, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de N

U prend la valeur 50 000

Pour I variant de 1 à N

U prend la valeur

0,95*U + 3 000

Fin pour

Afficher U

Fin algorithme



Algorithme 3

Variables

U, I, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de N

U prend la valeur 50 000

Pour I variant de 1 à N

Afficher U

U prend la valeur

0,95*U + 3 000

Fin pour

Afficher U

Fin algorithme

b) Lorsque A = 57 000, l’algorithme 1 affiche la valeur 24. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,5 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Boucle « Pour » • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>4.a) N’oubliez pas que l’on souhaite un algorithme affichant tous les termes de la suite du rang 0 au rang . Lorsqu’un algorithme calcule un nombre, il ne l’affiche que lorsqu’il rencontre une instruction d’affichage.

Corrigé
Corrigé

Notez bien

Puisque 5 % des arbres existants sont abattus, 95 % sont conservés.

>1.a) Calculer un terme d’une suite

Le nombre d’arbres de la forêt en 2014 est , soit :

b) Déterminer une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite

et, pour tout entier naturel  :

>2. Pour tout entier naturel , .

a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc :

.

On en déduit que est une suite géométrique de raison 0,95.

Son premier terme est .

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

Puisque est la suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme 10 000, pour tout entier naturel  :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel  :

d) Déterminer la limite d’une suite associée à une suite géométrique

, donc , donc :

e) Donner une interprétation de la limite d’une suite convergente

On déduit du résultat de la question précédente qu’à long terme, le nombre d’arbres de la forêt se rapproche de 60 000.

>3.a) Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

équivaut à :

.

Notez bien

On a divisé les deux membres de l’inégalité par et car , donc le sens de l’inégalité est inversé.

Pour résoudre cette inéquation, on peut calculer les puissances successives de 0,95 et trouver la première de ces puissances inférieure ou égale à 0,3 ou bien utiliser les logarithmes :

équivaut successivement à : .

Or , donc, puisque est un entier naturel :

b) Donner une interprétation d’un résultat associé à une suite

On peut interpréter le résultat de la question précédente de la manière suivante : au bout de 24 années, c’est-à-dire à partir de l’année 2037, le nombre d’arbres de la forêt dépassera 57 000.

>4.a) Choisir un algorithme affichant un résultat souhaité

Les algorithmes 1 et 2 ne peuvent pas convenir, car l’instruction d’affichage n’y figure qu’après la boucle « Tant que » ; ils produisent donc l’affichage d’une seule valeur, celle du dernier terme calculé pour l’algorithme 2, celle de son indice pour l’algorithme 1.

Donc, parmi les trois algorithmes donnés, le seul qui calcule successivement et affiche, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang est l’algorithme 3.

b) Donner une interprétation du résultat affiché par un algorithme

Pour un nombre A donné, l’algorithme 1 affiche l’indice du premier terme de la suite supérieur ou égal à A, puisqu’il calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils restent inférieurs à A.

Si cet l’algorithme 1 affiche la valeur 24 lorsque A = 57 000, alors on peut dire que le premier terme de la suite supérieur ou égal à 57 000 est . On retrouve ainsi le résultat de la question 3. b).

Le nombre d’arbres de la forêt est pour la première fois supérieur ou égal à 57 000 au bout de 24 ans, c’est-à-dire en 2037. On retrouve le résultat de la question 3.