Étude à l’aide de graphes des ventes d’une crème hydratante

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
Corpus Corpus 1
Étude à l’aide de graphes des ventes d’une crème hydratante

Graphes probabilistes

matT_1309_04_06C

Ens. de spécialité

38

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 2 • 5 points

Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée.

Cette étude montre que, lors de la sortie d’une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu’une cliente l’achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2.

De plus, lorsqu’une cliente a acheté une crème hydratante lors d’une vente promotionnelle, la probabilité qu’elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu’une cliente n’a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu’elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3.

étant un entier naturel non nul, on note :

la probabilité qu’une cliente achète une crème hydratante lors de la
‑ième vente promotionnelle.

la probabilité qu’une cliente n’achète pas une crème hydratante lors de la -ième vente promotionnelle.

la matrice ligne traduisant l’état probabiliste à la -ième vente promotionnelle.

>1.a) Déterminer . (0,5 point)

b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets :

quand il y a achat ; quand il n’y a pas achat. (0,75 point)

>2.a) Écrire la matrice de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

b) Calculer et . D’après ces résultats, quel est l’effet de ces trois premières ventes promotionnelles ? (1 point)

>3. Justifier qu’il existe un état stable pour cette situation. Le déterminer. (1 point)

>4. L’étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande.


 

L’entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d’achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum ? Justifier votre réponse à l’aide d’un algorithme et proposer une répartition des produits. (1,25 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

>1. b) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>2. a) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe ; la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

Corrigé
Corrigé

>1.a) Déterminer un état probabiliste

D’après l’énoncé, la probabilité qu’une cliente achète la crème lors de la première vente promotionnelle est 0,2, donc .

On en déduit , d’où :

b) Représenter une situation par un graphe probabiliste


 

>2.a) Écrire la matrice de transition d’un graphe probabiliste

Par définition, la matrice de transition d’un graphe probabiliste est la matrice M telle que, pour tout entier naturel  :

.

D’après l’énoncé :

Donc la matrice de transition du graphe précédent est :

b) Déterminer deux états probabilistes

.

.

D’après ces résultats, sur les trois premières ventes promotionnelles, la probabilité qu’une cliente achète la crème augmente d’une vente à la suivante.

>3. Déterminer un état stable

Un état stable est défini par , soit :

, qui équivaut à , c’est-à-dire :

.

De plus , donc le couple est solution du système :

D’où .

L’état stable est donc.

>4. Étudier à l’aide d’un graphe la répartition de produits dans des lots proposés à la vente

Le problème peut être considéré comme un problème de coloration du graphe : chaque couleur représente un lot de produits, on cherche le nombre minimal de couleurs à utiliser pour colorier les sommets, deux sommets adjacents ne devant pas être de la même couleur.

Pour cela :

Notez bien

Le degré d’un sommet d’un graphe est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.

  • on détermine le degré de chaque sommet ;
  • dans un tableau, on range les sommets par ordre de degré décroissant ;
  • on colorie les sommets par des couleurs notées 1, 2, 3… en attribuant successivement à chaque sommet la plus « petite » couleur (celle de plus petit numéro) qui n’est pas déjà portée par un sommet adjacent.

D’où le tableau suivant :

 

Sommet

E

G

A

F

H

B

C

D

Degré

6

6

5

4

4

3

2

2

Couleur

1

2

3

4

5

1

3

2

 
  • On attribue au sommet E la couleur 1 ;
  • G est adjacent à E, on lui attribue la couleur 2 ;
  • A est adjacent à E et G, on lui attribue la couleur 3 ;
  • F est adjacent à E, G et A, on lui attribue la couleur 4 ;
  • H est adjacent à E, G, A et F, on lui attribue la couleur 5 ;
  • B n’est pas adjacent à E, on lui attribue la couleur 1 ;
  • C n’est pas adjacent à A, on lui attribue la couleur 3 (C est adjacent à E et G, on ne peut pas lui attribuer les couleurs 1 et 2) ;
  • D est adjacent seulement à B et E, qui ont la couleur 1 ; D peut prendre la couleur 2.

Une répartition en 5 lots, correspondant aux 5 couleurs utilisées est par exemple :

{E ; B} ; {G ; D} ; {A ; C} ; {F} ; {H}

Donc l’entreprise doit prévoir au minimum 5 lots.