Terminale générale Mathématiques Fonctions de référence

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Sujet complet 1 • Exercice 2

matT_2100_07_01C

Sujet spécimen 2021 n° 1 • Exercice 2

Étude numérique et graphique d'une fonction comportant une exponentielle

55 min

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, il s'agit d'étudier les variations d'une fonction f, puis de déterminer, suivant les valeurs d'un paramètre réel, le nombre de solutions d'une équation associée à la fonction f.

Exercice commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{e^{x}}{x} .$

On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

▶ 1. a) Préciser la limite de la fonction f en + ∞.

b) Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C_f.

▶ 2. Montrer que, pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; + ∞[, on a :

$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x ²}$

où $f^{'}$ désigne la fonction dérivée de la fonction f.

▶ 3. Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + ∞[. On établira un tableau de variations de la fonction f dans lequel apparaîtront les limites.

▶ 4. Soit m un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de l'équation $f (x) = m$ .

▶ 5. On note Δ la droite d'équation y = - x.

On note A un éventuel point de C_f d'abscisse a en lequel la tangente à la courbe C_f est parallèle à la droite Δ.

a) Montrer que a est solution de l'équation $e^{x} (x - 1) + x^{2} = 0$ .

b) On note g la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par $g (x) = e^{x} (x - 1) + x^{2}$ .

On admet que la fonction g est dérivable et on note g′ sa fonction dérivée.

Calculer $g^{'} (x)$ pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; + ∞[, puis dresser le tableau de variations de g sur [0 ; + ∞[.

c) Montrer qu'il existe un unique point A en lequel la tangente à C_f est parallèle à la droite Δ.

Les clés du sujet

▶ 1. b) Étudiez la limite de f en 0.

▶ 2. Appliquez la formule permettant de calculer la dérivée du quotient de deux fonctions.

▶ 3. Étudiez le signe de $f^{'} (x)$ suivant les valeurs de x.

▶ 5. a) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

c) Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

▶ 1. a) Donner la limite en + ∞ d'une fonction

D'après le résultat du cours sur les croissances comparées, $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ , soit :

$\lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$

b) Montrer qu'une droite est asymptote à une courbe

$\lim_{x \to 0} e^{x} = e^{0} = 1$ et x > 0, donc par quotient $\lim_{x \to 0} f (x) = + ∞ .$

Il en découle que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $C_{f}$ .

▶ 2. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[ :

$f^{'} (x) = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x ²}$

▶ 3. Étudier les variations d'une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[, $e^{x} > 0$ et $x^{2} > 0$ , donc $f^{'} (x)$ a le signe de x - 1, d'où le tableau :

Tableau de 3 lignes, 9 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; ; 1; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; ; ; ; -; 0; +; ; Ligne 3 : Variations de f; ; ; ; + ∞; ; e; ; + ∞;

▶ 4. Déterminer suivant les valeurs d'un paramètre le nombre de solutions d'une équation

Le conseil de méthode

Une solution de l'équation $f (x) = m$ est l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe C_f et de la droite d'équation y = m. Utilisez le tableau de variations pour dessiner la courbe C_f.

D'après la question précédente, le minimum de f sur ]0 ; + ∞[ est e, donc pour tout x dans ]0 ; + ∞[, $f (x) \geq e$ .

On en déduit, suivant la valeur du réel m, le nombre de solutions de l'équation $f (x) = m$ .

Si m e, l'équation $f (x) = m$ n'a pas de solution.

Si m = e, l'équation $f (x) = e$ a une seule solution : 1.

Si m > e, l'équation $f (x) = m$ a deux solutions : une dans l'intervalle ]0 ; 1[, une dans l'intervalle ]1 ; + ∞[.

▶ 5. a) Déterminer une condition relative à une tangente à une courbe

info +

La tangente à C_f en $A (a; f (a))$ a pour coefficient directeur $f^{'} (a)$ .

La tangente à C_f en $A (a; f (a))$ est parallèle à la droite Δ d'équation y = - x si et seulement si ces deux droites ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire si et seulement si $f^{'} (a) = - 1$ , ce qui signifie que a est solution de l'équation $f^{'} (x) = - 1$ .

$f^{'} (x) = - 1$ équivaut successivement à :

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x ²} = - 1$

$e^{x} (x - 1) = - x^{2}$

$e^{x} (x - 1) + x^{2} = 0$ .

a est donc bien solution de l'équation $e^{x} (x - 1) + x^{2} = 0$ .

b) Dresser le tableau de variations d'une fonction

Pour tout x dans [0 ; + ∞[ :

$\begin{array}{l} g^{'} (x) = e^{x} (x - 1) + e^{x} + 2 x \\ g^{'} (x) = x e^{x} + 2 x \\ g^{'} (x) = x (e^{x} + 2) \end{array}$

$e^{x} + 2 > 0$ pour tout réel x, donc $g^{'} (x)$ a le signe de x.

$g^{'} (0) = 0$ et pour tout x dans ]0 ; + ∞[, $g^{'} (x) > 0$ , donc g est strictement croissante sur [0 ; + ∞[.

$g (0) = - 1$ , $\lim_{x \to + ∞} e^{x} = + ∞$ , $\lim_{x \to + ∞} (x - 1) = + ∞$ et $\lim_{x \to + ∞} x^{2} = + ∞$ donc, par opérations, $\lim_{x \to + ∞} g (x) = + ∞$ .

D'où le tableau :

Tableau de 3 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de g′(x); 0; +; ; Ligne 3 : Variations de g; - 1; ; + ∞;

c) Montrer qu'une courbe admet une unique tangente parallèle à une droite donnée

La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞[. $g (0) = - 1$ , $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ et 0 ∈[- 1 ; + ∞[ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution a dans l'intervalle [0 ; + ∞[, donc la courbe $C_{f}$ admet une unique tangente parallèle à la droite $Δ$ .