Étudier la fonction tangente

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier la fonction tangente

Compléments sur les fonctions

Corrigé

14

Ens. spécifique

matT_1200_00_38C

Sujet inédit

Exercice • 7 points

On appelle fonction tangente, notée tan, la fonction définie par l’égalité

.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

PARTIE A

Étude de la fonction tangente

>1.a) Résoudre sur l’équation . (0,5 point)

b) En déduire le domaine de définition de la fonction tan. (0,5 point)

>2.a) Étudier la parité de la fonction tan. (0,5 point)

b) Démontrer que la fonction tan est π-périodique. (0,5 point)

c) Expliquer pourquoi on peut restreindre le domaine d’étude à l’intervalle .

>3.a) Déterminer . (0,5 point)

b) Que peut-on en déduire graphiquement ? (0,5 point)

>4.a) Déterminer l’expression de la dérivée tan′ de la fonction tan
sur . (0,5 point)

b) En déduire les variations de la fonction tan sur et son tableau de variations sur . (0,5 point)

PARTIE B

Tangente en 0 à la courbe et position relative

> 1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0. (0,5 point)

>2.a) On considère la fonction définie sur par . Étudier les variations de la fonction sur et en déduire son signe. (0,5 point)

b) En déduire la position de la courbe C par rapport à . (0,5 point)

PARTIE C

Tracé de la courbe et d’une tangente sur

On rappelle que pour tout réel a, et .

> 1. Démontrer que . (0,5 point)

> 2. En déduire et . (0,5 point)

> 3. Tracer la courbe C ainsi que la droite sur . (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Fonctions trigonométriques.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. a) Notez que et appliquez ou avec k. → fiches  C18  C19 

b) est défini si, et seulement si, .

>  2. Remarquez que et . → fiches  C18  C19 

>  3. a) Appliquez la propriété relative à la limite d’un quotient. → fiche  C1 

b) Précisez l’équation d’une asymptote dont vous indiquerez la nature. → fiche  C3 

>  4. a) Appliquez la bonne formule de dérivation. → fiche  C7 

b) Étudiez le signe de la dérivée déterminée précédemment et utilisez le fait que la fonction tan est impaire pour conclure. → fiche  C9 

Partie B

>  1. Sachez par cœur l’équation de la tangente à la courbe d’une fonction f dérivable au point d’abscisse a. → fiche  C8 

>  2. a) Démontrez que est strictement croissante et calculer avant d’en déduire le signe.

b) Notez que . N’oubliez pas de préciser le point d’intersection.

Partie C

>  1. Injectez les deux rappels de l’énoncé dans l’expression . Notez ensuite que pour pouvoir conclure.

>  2. Utilisez le résultat établi à la question précédente en posant puis .

Corrigé

PARTIE A

>1. Trouver le domaine de définition d’une fonction

a) ou avec
k.

D’où avec k.

b) .

>2. Étudier la parité et la périodicité d’une fonction

a) est symétrique par rapport à 0. Soit .

.

La fonction tan est donc impaire.

b) Pour tout , .
La fonction tan est π-périodique.

c) La fonction tan est π-périodique, on peut donc restreindre l’étude à un intervalle de longueur π, par exemple . Par symétrie, la fonction étant impaire, on limite l’étude à l’intervalle .

>3. Calculer une limite et l’interpréter graphiquement

a)

b) D’après la question a), la courbe C admet une asymptote verticale d’équation .

>4. Calculer la dérivée d’une fonction et dresser son tableau de variations

a) Pour tout , .

Or, et donc

b) Pour tout , .

La fonction tan est donc strictement croissante sur .

La courbe C étant symétrique par rapport à l’origine (tan étant une fonction impaire), on en déduit le tableau de variations suivant.


PARTIE B

>1. Déterminer l’équation d’une tangente à la courbe

La fonction tan étant dérivable en 0, on en déduit que la tangente à sa courbe C au point d’abscisse 0 admet pour équation réduite :
 : .

Par conséquent,  : .

>2. Déterminer les variations d’une fonction

a) Soit . On a .

La fonction est donc strictement croissante sur .

Or, .

Il s’ensuit que pour tout , et .

b) Soit , .

La courbe C est donc au-dessus de la droite sur ,

La courbe C et la droite (D) admettent un point d’intersection : l’origine du repère.

PARTIE C

>1. Manipuler une égalité trigonométrique

D’après les deux rappels, on a pour tout
et donc : . Il s’ensuit .

On rappelle que , pour tout a réel.

>2. Utilisez une égalité trigonométrique

et .

>3.Tracer la courbe d’une fonction