Annale corrigée Exercice Ancien programme

Étudier la fonction tangente

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier la fonction tangente

Compléments sur les fonctions

Corrigé

14

Ens. spécifique

matT_1200_00_38C

Sujet inédit

Exercice • 7 points

On appelle fonction tangente, notée tan, la fonction définie par l'égalité

.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

PARTIE A

Étude de la fonction tangente

> 1. a) Résoudre sur l'équation . (0,5 point)

b) En déduire le domaine de définition de la fonction tan. (0,5 point)

> 2. a) Étudier la parité de la fonction tan. (0,5 point)

b) Démontrer que la fonction tan est π-périodique. (0,5 point)

c) Expliquer pourquoi on peut restreindre le domaine d'étude à l'intervalle .

> 3. a) Déterminer . (0,5 point)

b) Que peut-on en déduire graphiquement ? (0,5 point)

> 4. a) Déterminer l'expression de la dérivée tan′ de la fonction tan
sur . (0,5 point)

b) En déduire les variations de la fonction tan sur et son tableau de variations sur . (0,5 point)

PARTIE B

Tangente en 0 à la courbe et position relative

> 1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0. (0,5 point)

> 2. a) On considère la fonction définie sur par . Étudier les variations de la fonction sur et en déduire son signe. (0,5 point)

b) En déduire la position de la courbe C par rapport à . (0,5 point)

PARTIE C

Tracé de la courbe et d'une tangente sur

On rappelle que pour tout réel a, et .

> 1. Démontrer que . (0,5 point)

> 2. En déduire et . (0,5 point)

> 3. Tracer la courbe C ainsi que la droite sur . (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Fonctions trigonométriques.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. a) Notez que et appliquez ou avec k. fiches C18 C19

b) est défini si, et seulement si, .

> 2. Remarquez que et . fiches C18 C19

> 3. a) Appliquez la propriété relative à la limite d'un quotient. fiche C1

b) Précisez l'équation d'une asymptote dont vous indiquerez la nature. fiche C3

> 4. a) Appliquez la bonne formule de dérivation. fiche C7

b) Étudiez le signe de la dérivée déterminée précédemment et utilisez le fait que la fonction tan est impaire pour conclure. fiche C9

Partie B

> 1. Sachez par cœur l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f dérivable au point d'abscisse a. fiche C8

> 2. a) Démontrez que est strictement croissante et calculer avant d'en déduire le signe.

b) Notez que . N'oubliez pas de préciser le point d'intersection.

Partie C

> 1. Injectez les deux rappels de l'énoncé dans l'expression . Notez ensuite que pour pouvoir conclure.

> 2. Utilisez le résultat établi à la question précédente en posant puis .

PARTIE A

> 1. Trouver le domaine de définition d'une fonction

a) ou avec
k.

D'où avec k.

b) .

> 2. Étudier la parité et la périodicité d'une fonction

a) est symétrique par rapport à 0. Soit .

.

La fonction tan est donc impaire.

b) Pour tout , .
La fonction tan est π-périodique.

c) La fonction tan est π-périodique, on peut donc restreindre l'étude à un intervalle de longueur π, par exemple . Par symétrie, la fonction étant impaire, on limite l'étude à l'intervalle .

> 3. Calculer une limite et l'interpréter graphiquement

a)

b) D'après la question a), la courbe C admet une asymptote verticale d'équation .

> 4. Calculer la dérivée d'une fonction et dresser son tableau de variations

a) Pour tout , .

Or, et donc

b) Pour tout , .

La fonction tan est donc strictement croissante sur .

La courbe C étant symétrique par rapport à l'origine (tan étant une fonction impaire), on en déduit le tableau de variations suivant.


PARTIE B

> 1. Déterminer l'équation d'une tangente à la courbe

La fonction tan étant dérivable en 0, on en déduit que la tangente à sa courbe C au point d'abscisse 0 admet pour équation réduite :
: .

Par conséquent, : .

> 2. Déterminer les variations d'une fonction

a) Soit . On a .

La fonction est donc strictement croissante sur .

Or, .

Il s'ensuit que pour tout , et .

b) Soit , .

La courbe C est donc au-dessus de la droite sur ,

La courbe C et la droite (D) admettent un point d'intersection : l'origine du repère.

PARTIE C

> 1. Manipuler une égalité trigonométrique

D'après les deux rappels, on a pour tout
et donc : . Il s'ensuit .

On rappelle que , pour tout a réel.

> 2. Utilisez une égalité trigonométrique

et .

> 3.Tracer la courbe d'une fonction


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