Étudier une fonction à l’aide de la fonction logarithme népérien

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une fonction à l’aide de  la  fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1200_00_41C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

Prérequis : on rappelle que .

Démontrer que . (0,5  point)

PARTIE B

Étude d’une fonction f

Soit f la fonction défi nie sur l’intervalle par : .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2  cm).

>  1.  Soit u la fonction défi nie sur l’intervalle par .

a)  Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle . (0,5  point)

b)  Calculer u(1) et en déduire le signe de pour x appartenant à l’intervalle . (0,5  point)

>2.  Étude de la fonction f

a)  Déterminer les limites de f en 0 et en . On remarquera que pour tout x appartenant à l’intervalle . (1,5  point)

b)  Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f. (0,5  point)

>3.  Éléments graphiques et tracés

a)  Déterminer la position de C par rapport à la droite d’équation . (0,5  point)

b)  Démontrer que la droite est asymptote oblique à la courbe C. (0,5  point)

c)  Tracer la courbe C et la droite . (0,5  point)

Durée conseillée  : 45  min.

Le thème en jeu

Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

Pour lever l’indétermination du type , procédez au changement de variable . Remarquez, de façon réciproque, que . Pour finir appliquez le prérequis.

Partie B

>    1.  a)  Étudiez les variations de u, en étudiant de façon classique le signe de la dérivée après l’avoir calculée. →  fiches    C7    C9 

b)  Utilisez la valeur u(1) et les variations de u sur deux intervalles judicieusement choisis.

>    2.  a)  Pour calculer la limite de f en 0, changez l’écriture de en utilisant le résultat suivant  : pour tout , on a . Quant à la limite en , utilisez .

b)  Pour éviter les erreurs, calculez dans un premier temps la dérivée de. (Attention, la fonction auxiliaire introduite ici est une fonction quotient. Appliquez donc la bonne formule  !). Pour étudier le signe de , démontrez le résultat suivant  : a le signe de . →  fiches    C7    C9 

>    3.  a)  Déterminer la position de C par rapport à (∆ ) revient à étudier le signe de . →  fiche    C13 

b)  Pour , considérez le point M de C d’abscisse x et le point N de (∆ ) de même abscisse x. Que pouvez-vous dire de la distance MN  ?

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