Étudier une fonction à l’aide de la fonction logarithme népérien

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une fonction à l’aide de la fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1200_00_41C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

Prérequis : on rappelle que .

Démontrer que . (0,5 point)

PARTIE B

Étude d’une fonction f

Soit f la fonction définie sur l’intervalle par : .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

> 1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle par .

a) Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle . (0,5 point)

b) Calculer u(1) et en déduire le signe de pour x appartenant à l’intervalle . (0,5 point)

>2. Étude de la fonction f

a) Déterminer les limites de f en 0 et en . On remarquera que pour tout x appartenant à l’intervalle . (1,5 point)

b) Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variation de la fonction f. (0,5 point)

>3. Éléments graphiques et tracés

a) Déterminer la position de C par rapport à la droite d’équation . (0,5 point)

b) Démontrer que la droite est asymptote oblique à la courbe C. (0,5 point)

c) Tracer la courbe C et la droite . (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Le thème en jeu

Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

Pour lever l’indétermination du type , procédez au changement de variable . Remarquez, de façon réciproque, que . Pour finir appliquez le prérequis.

Partie B

>  1. a) Étudiez les variations de u, en étudiant de façon classique le signe de la dérivée après l’avoir calculée. → fiches  C7  C9 

b) Utilisez la valeur u(1) et les variations de u sur deux intervalles judicieusement choisis.

>  2. a) Pour calculer la limite de f en 0, changez l’écriture de en utilisant le résultat suivant : pour tout , on a . Quant à la limite en , utilisez .

b) Pour éviter les erreurs, calculez dans un premier temps la dérivée de. (Attention, la fonction auxiliaire introduite ici est une fonction quotient. Appliquez donc la bonne formule !). Pour étudier le signe de , démontrez le résultat suivant : a le signe de . → fiches  C7  C9 

>  3. a) Déterminer la position de C par rapport à (∆) revient à étudier le signe de . → fiche  C13 

b) Pour , considérez le point M de C d’abscisse x et le point N de (∆) de même abscisse x. Que pouvez-vous dire de la distance MN ?

Corrigé

PARTIE A

Calculer la limite de f

Soit . Posons . On a donc .

Ainsi, pour tout  :

On a
et d’après le prérequis .

Or , d’où .

PARTIE B

>1.a) Étudier les variations d’une fonction

Les fonctions polynôme et logarithme népérien sont dérivables sur .

La fonction u est donc dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur .

Soit . .

Remarquez que est la somme de deux termes de même signe sur . Il n’est donc pas nécessaire de factoriser cette expression.

On a et , d’où .

La fonction u est donc strictement croissante sur .

b) Étudier le signe d’une expression

On a : , d’où .

  • Soit .

car la fonction u est strictement croissante sur .

Or , d’où pour tout , .

  • En procédant de la même façon, on montre que
    pour tout , .

Si sont deux réels de l’intervalle I et si f est strictement croissante sur I alors .

>2.a) Calculer les limites d’une fonction

  • Pour tout , on a .

. Par produit, on a .

On en déduit, par somme, que

  • On a .

. Par produit, on a .

On a donc par somme

b) Calculer la dérivée d’une fonction
et en déduire son tableau de variation

  • Les fonctions usuelles et sont dérivables sur La fonction est donc dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur ( restant non nul).

On a pour tout :

Rappel

.

Ainsi, la fonction f est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur . Pour tout , on a donc :

On en déduit que pour tout , .

  • Or pour tout , , donc a le signe de .

D’après le résultat de la question précédente, on en déduit les variations de la fonction f.

f est strictement décroissante sur .

f est strictement croissante sur .

Voici le tableau de variation de f  :

Vérifier la cohérence des résultats résumés dans ce tableau. Notamment, la cohérence entre les variations et les limites trouvées.


>3.a) Étudier la position relative de deux courbes

Pour tout réel , , or ,

donc a le signe de sur c’est-à-dire : pour et pour et f(x) – x s’annule pour .

On en déduit que :

C et (D) sont sécantes en A(1 ; 1) ;

C est au-dessus de (D) sur et en dessous de (D) sur .

b) Interpréter graphiquement une limite

On a démontré, en 2. a), que , donc .

Pour , on note M le point de C d’abscisse x et N le point de (∆) de même abscisse x. On a alors, .

signifie donc que quand x tend vers , la distance MN tend vers 0, autrement dit,
la courbe C se rapproche de plus en plus de la
droite (D) quand x devient grand.

On dit que la droite ∆ est une asymptote oblique de C.

c) Représenter graphiquement une fonction