Terminale générale Mathématiques Fonctions de référence

France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1

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France métropolitaine, mars 2023 • Jour 1 Exercice 2

Étudier une fonction pour la rendre positive

55 min

5 points

Intérêt du sujet • Cet exercice permet d’étudier différentes propriétés d’une fonction comportant un logarithme népérien. Certains résultats doivent être exploités dans la dernière question et appliqués à une autre fonction dépendant d’un paramètre k.

On considère la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par $f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$ , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que f est dérivable sur ]0 ; + ∞[, on note $f^{'}$ sa fonction dérivée.

▶ 1. Déterminer $lim_{x \to 0}$ f(x).

▶ 2. On admet que, pour tout x > 0, $f (x) = x^{2} (1 - 8 \frac{\ln (x)}{x^{2}})$ .

En déduire la limite $lim_{x \to + ∞} f (x)$ .

▶ 3. Montrer que, pour tout réel x de ]0 ; + ∞[ $, f^{'} (x) = \frac{2 (x^{2} - 4)}{x}$ .

▶ 4. Étudier les variations de f sur ]0 ; + ∞[ et dresser son tableau de variations complet.

On précisera la valeur exacte du minimum de f sur ]0 ; + ∞[.

▶ 5. Démontrer que sur l’intervalle ]0 ; 2] l’équation f(x) = 0 admet une solution unique α (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de α).

▶ 6. On admet que sur l’intervalle [2 ; + ∞[ l’équation f(x)= 0 admet une solution unique β (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de β).

En déduire le signe de f sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

▶ 7. Pour tout nombre réel k, on considère la fonction g_k définie sur ]0 ; + ∞[ par $g_{k} (x) = x^{2} - 8 \ln (x) + k .$

En s’aidant du tableau de variations de f, déterminer la plus petite valeur de k pour laquelle g_k est positive sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

Les clés du sujet

▶ 2. Utilisez les croissances comparées.

▶ 5. Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires après avoir vérifié les conditions.

▶ 6. Utilisez le tableau de variations établi à la question 4.

▶ 1. Calculer la limite en 0 d’une fonction

$\lim_{x \to 0} x^{2} = 0$ et $\lim_{x \to 0} \ln (x) = - ∞$ .

Donc par opérations $\lim_{x \to 0} f (x) = + ∞$ .

▶ 2. Calculer la limite en + ∞ d’une fonction

On utilise l’égalité $f (x) = x^{2} (1 - 8 \frac{\ln (x)}{x^{2}})$ .

à noter

Pour déterminer la limite en + ∞ de $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ , on utilise les croissances comparées.

$\lim_{x \to + ∞} x^{2} = + ∞$ et, d’après les croissances comparées, $\lim_{x \to + ∞} \frac{ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

Donc par opérations $\lim_{x \to + ∞} f (x) = + ∞$ .

▶ 3. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[, $f^{'} (x) = 2 x - \frac{8}{x} = \frac{2 x^{2} - 8}{x}$ , soit $f^{'} (x) = \frac{2 (x^{2} - 4)}{x}$ .

▶ 4. Étudier les variations d’une fonction

Pour tout x dans ]0 ; + ∞[, x > 0 ; donc le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $x^{2} - 4$ .

Si 0 < x < 2, alors $x^{2} - 4 < 0$ .

$f^{'} (2) = 0$ .

Si x > 2, alors $x^{2} - 4 > 0$ .

$f$ admet donc un minimum en 2 et $f (2) = 4 - 8 \ln (2)$ .

On peut dresser le tableau de variations suivant :

▶ 5. Montrer qu’une équation a une solution

Sur l’intervalle ]0 ; 2], la fonction f est continue comme somme de deux fonctions continues, et elle est strictement décroissante.

$\lim_{x \to 0} f (x) = + ∞$ et $f (2) = 4 - 8 \ln (2) \approx - 1,545$ , donc :

$0 \in [f (2); \lim_{x \to 0} f (x)[$ .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f (x) = 0$ a une unique solution $α$ dans l’intervalle $]0; 2]$ .

▶ 6. Étudier le signe d’une fonction

L’équation $f (x) = 0$ possède deux solutions dans ]0 ; + ∞[ : une solution α dans ]0 ; 2], une solution β dans [2 ; + ∞[.

attention

Ne confondez pas le signe de f avec le sens de variation de f.

D’après le tableau de variations établi à la question 4. :

si 0 < x < α, alors $f (x) > 0$ ;

$f (α) = 0$ ;

si α < x < β, alors $f (x) < 0$ ;

$f (β) = 0$ ;

si x > β, alors $f (x) > 0$ .

▶ 7. Déterminer la plus petite valeur d’un nombre vérifiant une condition donnée

g_k est positive sur ]0 ; + ∞[ si et seulement si, pour tout réel x > 0, $x^{2} - 8 \ln (x) + k \geq 0$ , c’est-à-dire $x^{2} - 8 \ln (x) \geq - k$ .

Cette condition équivaut à « - k est inférieur ou égal au minimum de f sur ]0 ; + ∞[ », soit $- k \leq 4 - 8 \ln (2)$ , c’est-à-dire $k \geq 8 \ln (2) - 4$ .

La plus petite valeur de k qui convient est donc $k = 8 \ln (2) - 4$ .