Étudier une suite définie par une intégrale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une suite définie par une intégrale

Intégration

Corrigé

23

Ens. spécifique

matT_1200_00_47C

Sujet inédit

Exercice • 5,5 points

On considère la fonction définie sur l’intervalle par

.

> 1. Montrer que f est dérivable sur . Étudier le signe de sa fonction dérivée , sa limite éventuelle en et dresser le tableau de ses variations. (1,25 point)

> 2. On définit la suite par son terme général .

a) Montrer que si , alors . (0,75 point)

b) Montrer, sans chercher à calculer , que pour tout entier naturel ,
. (0,5 point)

c) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. (0,75 point)

> 3. Soit la fonction définie sur par .

a) Justifier la dérivabilité sur de la fonction et déterminer, pour tout réel positif x, le nombre . (0,75 point)

b) On pose, pour tout entier naturel , . Calculer . (0,75 point)

> 4. On pose, pour tout entier naturel non nul, .

Calculer . La suite est-elle convergente ? (0,75 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Suites numériques • Calcul intégral.

Les conseils du correcteur

>  1. Attention : la fonction à dériver est une fonction quotient. Pour étudier le signe de , rappelez-vous que . → fiches  C7  C9 

>  2. a) Pensez aux variations de la fonction trouvées à la question 1.

b) Observez bien la définition de . Partez de l’inégalité
. « Intégrez-la » en justifiant. Pour cela, relisez la propriété concernant l’inégalité de l’intégrale. → fiche  C29 A 

c) Utilisez le théorème des « gendarmes ». → fiche  C26 C 

>  3. a) Il s’agit de calculer la dérivée de la fonction avec .

N’oubliez pas que

b) Trouvez dans un premier temps une primitive de la fonction . Pour cela, utilisez le résultat établi à la question précédente. → fiche  C28 

>  4. Remarquez que l’on peut exprimer plus simplement le terme général de la suite . On utilisera en particulier la relation de Chasles détaillée dans la  fiche  C29 B 

Corrigé

>1. Étudier une fonction et dresser son tableau de variation

  • La fonction est dérivable sur et à valeurs
    dans .

La fonction est dérivable sur , donc les fonctions puis sont dérivables sur par composition car .

La fonction est dérivable sur en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0 ; + ∞[.

  • Pour tout , .

Or pour tout , car la fonction est strictement croissante sur l’intervalle en tant que composée, donc pour tout .

Pour tout , (et 4 > 0) donc .

La fonction est strictement décroissante sur .

  • en posant .
  • On résume les résultats dans le tableau de variation de la fonction  :

>2.a) Encadrer une fonction sur un intervalle

Soit un entier naturel que l’on fixe pour pouvoir considérer l’intervalle .

La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle
(), donc pour tout x vérifiant , on a .

b) Encadrer une intégrale

Pour tout , on a donc, en intégrant la relation sur l’intervalle , , soit et ceci pour tout entier naturel .

c) Déterminer la limite d’une suite à l’aide d’un encadrement

.

Donc d’après l’encadrement qui précède, .

>3.a) Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction est dérivable sur et la fonction est dérivable sur . Donc la fonction F est dérivable sur en tant que composée de fonctions dérivables.

Pour tout ,

b) Calculer une intégrale

Soit un nombre entier naturel. D’après la question précédente, la fonction est une primitive de la fonction sur l’intervalle , donc :

>4. Déterminer l’expression d’une suite et sa limite éventuelle

  • Soit un nombre entier naturel non nul.

d’après la relation de Chasles.

Donc pour tout , .

  • , donc .

Il en découle que .

La suite diverge et .