Étudier une suite définie par une intégrale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une suite définie par  une  intégrale

Intégration

Corrigé

23

Ens. spécifique

matT_1200_00_47C

Sujet inédit

Exercice • 5,5 points

On considère la fonction définie sur l’intervalle par

.

>  1.  Montrer que f est dérivable sur . Étudier le signe de sa fonction dérivée , sa limite éventuelle en et dresser le tableau de ses variations. (1,25 point)

>  2.  On définit la suite par son terme général .

a)  Montrer que si , alors . (0,75  point)

b)  Montrer, sans chercher à calculer , que pour tout entier naturel ,
. (0,5 point)

c)  En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. (0,75 point)

>  3.  Soit la fonction définie sur par .

a)  Justifier la dérivabilité sur de la fonction et déterminer, pour tout réel positif x, le nombre . (0,75 point)

b)  On pose, pour tout entier naturel , . Calculer . (0,75  point)

>  4.  On pose, pour tout entier naturel non nul, .

Calculer . La suite est-elle convergente  ? (0,75 point)

Durée conseillée  : 50  min.

Les thèmes en jeu

Fonction logarithme népérien • Suites numériques • Calcul intégral.

Les conseils du correcteur

>    1.  Attention  : la fonction à dériver est une fonction quotient. Pour étudier le signe de , rappelez-vous que . →  fiches    C7    C9 

>    2.  a)  Pensez aux variations de la fonction trouvées à la question 1.

b)  Observez bien la définition de . Partez de l’inégalité
. «  Intégrez-la  » en justifiant. Pour cela, relisez la propriété concernant l’inégalité de l’intégrale. →  fiche    C29 A 

c)  Utilisez le théorème des «  gendarmes  ». →  fiche    C26 C 

>    3.  a)  Il s’agit de calculer la dérivée de la fonction avec .

N’oubliez pas que

b)  Trouvez dans un premier temps une primitive de la fonction . Pour cela, utilisez le résultat établi à la question précédente. →  fiche    C28 

>    4.  Remarquez que l’on peut exprimer plus simplement le terme général de la suite . On utilisera en particulier la relation de Chasles détaillée dans la   fiche    C29 B 

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