Soit un intervalle de ℝ , où A ∈ ℝ .

D'après l'hypothèse (2), la suite tend vers , donc à partir d'un certain rang , l'intervalle contient tous les termes de .

D'autre part, d'après l'hypothèse (1), est inférieur ou égal à à partir d'un rang .

Ainsi, à partir du maximum des rangs
et , l'intervalle contient tous
les termes de et également tous les
termes de car est supérieur ou égal à .

Donc tout intervalle de la forme contient tous les termes
de à partir d'un certain rang ce qui signifie que la suite tend
vers .

a) Notons P(n) la propriété : u_n ≥ 0 et démontrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 3, P(n) est vraie.

Initialisation : ,

et ,
donc et est vraie.

Hérédité : soit un entier, n ≥ 3, on suppose que P(n) est vraie c'est-à-dire .

En multipliant par qui est positif, puis en ajoutant , on obtient : , c'est-à-dire : .

Or n ≥ 3, donc n – 1 ≥ 2 > 0.

Ainsi, , ce qui signifie que P(n + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété P(n) est vraie au rang 3 et héréditaire. Donc :

pour tout entier n ≥ 3, .

b) Notons P(n) la propriété : u_n ≥ n – 2 et démontrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 4, P(n) est vraie.

Initialisation : ,
donc et P(4) est vraie.

Hérédité : soit un entier, n ≥ 4, on suppose que P(n) est vraie c'est-à-dire . On doit démontrer que P(n + 1) est vraie, soit .

or pour n ≥ 3, u_n ≥ 0, donc a fortiori pour n ≥ 4, u_n ≥ 0 donc , soit . Ainsi, P(n + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 4 et héréditaire.
Donc, pour tout entier , .

c) Pour tout entier , et , donc, d'après la propriété démontrée dans la partie A, .

a) Pour tout entier naturel n,
, donc :

D'où, pour tout entier naturel n,

v_n+1 = 4u_n – 6n + 15 et v_n = 12u_n – 18n + 45 donc .

(v_n) est donc une suite géométrique de raison .

b) .

(v_n) est la suite géométrique de raison et de premier terme , donc, pour tout entier naturel , .

Comme , alors .

D'où, pour tout entier naturel n, .