Suites numériques
Corrigé
8
Ens. spécifique
matT_1200_00_32C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Partie A
Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le résultat suivant :
La suite tend vers
lorsque
tend vers
si tout intervalle de la forme
contient tous les termes de la suite
à partir d'un certain rang.
Soient et
deux suites telles que :
tend vers
lorsque
tend vers
. (1 point)
Partie B
Étude d'une suite récurrente
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 .
,
. (0,75 point)
,
. (0,75 point)
.
Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison . (1 point)
Durée conseillée : 40 min.
Le thème en jeu
Suites numériques.
Les conseils du correcteur
Partie A
Choisissez un intervalle de la forme puis démontrez qu'il contient tous les termes de (vn) partir d'un certain rang en utilisant l'hypothèse (2) puis l'hypothèse (1).
Partie B
Observez la particularité de cette suite : son terme général est défini par une relation qui n'est ni du type un
Partie A
Soit un intervalle de ℝ , où A ∈ ℝ .
D'après l'hypothèse (2), la suite tend vers
, donc à partir d'un certain rang
, l'intervalle
contient tous les termes de
.
D'autre part, d'après l'hypothèse (1), est inférieur ou égal à
à partir d'un rang
.
Ainsi, à partir du maximum des rangs
et , l'intervalle
contient tous
les termes de et également tous les
termes de car
est supérieur ou égal à
.
Donc tout intervalle de la forme contient tous les termes
de à partir d'un certain rang ce qui signifie que la suite
tend
vers .
Partie B
> 1. Étude de la convergence de la suite (un)
Ici, l'initialisation commence avec n
Hérédité : soit un entier, n
.
En multipliant par qui est positif, puis en ajoutant
, on obtient :
, c'est-à-dire :
.
Or n
Ainsi, , ce qui signifie que P(n
Conclusion : la propriété P(n) est vraie au rang 3 et héréditaire. Donc :
Ici, l'initialisation commence avec n
Hérédité : soit un entier, n
. On doit démontrer que P(n
.
On utilise ici un raisonnement par équivalences.
or pour n
, soit
. Ainsi, P(n
Conclusion : la propriété est vraie au rang 4 et héréditaire.
Donc, ,
,
et
, donc, d'après la propriété démontrée dans la partie
.