Étudier une suite récurrente

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une suite récurrente

Suites numériques

Corrigé

8

Ens. spécifique

matT_1200_00_32C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant  :

La suite tend vers lorsque tend vers si tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Soient et deux suites telles que  :

  • est inférieur ou égal à à partir d’un certain rang 
  • tend vers lorsque tend vers .

>  Démontrer que la suite tend vers lorsque tend vers . (1  point)

Partie B

Étude d’une suite récurrente

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0=  0 et pour tout entier naturel n, .

>1.a)  Démontrer que pour tout entier naturel , . (0,75  point)

b)  Démontrer que pour tout entier naturel , . (0,75  point)

c)  En déduire, en utilisant le résultat démontré dans la partie A, la limite de la suite (un). (0,5 point)

>2.a)  Pour tout entier naturel n, on pose .

Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison . (1  point)

b)  En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n. (1  point)

Durée conseillée  : 40  min.

Le thème en jeu

Suites numériques.

Les conseils du correcteur

Partie A

Choisissez un intervalle de la forme puis démontrez qu’il contient tous les termes de (vn) partir d’un certain rang en utilisant l’hypothèse (2) puis l’hypothèse (1).

Partie B

Observez la particularité de cette suite  : son terme général est défini par une relation qui n’est ni du type un=f(n) ni du type un=f(un).

>    1.  Démontrez les inégalités par récurrence. →  fiche    C20 

>    2.  a)  Exprimez vn+1 en fonction de n et de un puis exprimer vn+1 en fonction de vn. →  fiche    C22  B 

b)  Utilisez les formules concernant les suites géométriques. →  fiche    C22  C 

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