Étudier une suite récurrente

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une suite récurrente

Suites numériques

Corrigé

8

Ens. spécifique

matT_1200_00_32C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant :

La suite tend vers lorsque tend vers si tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Soient et deux suites telles que :

  • est inférieur ou égal à à partir d’un certain rang ;
  • tend vers lorsque tend vers .

> Démontrer que la suite tend vers lorsque tend vers . (1 point)

Partie B

Étude d’une suite récurrente

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 = 0 et pour tout entier naturel n, .

> 1. a) Démontrer que pour tout entier naturel , . (0,75 point)

b) Démontrer que pour tout entier naturel , . (0,75 point)

c) En déduire, en utilisant le résultat démontré dans la partie A, la limite de la suite (un). (0,5 point)

> 2. a) Pour tout entier naturel n, on pose .

Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison . (1 point)

b) En déduire l’expression de vn puis celle de un en fonction de n. (1 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Suites numériques.

Les conseils du correcteur

Partie A

Choisissez un intervalle de la forme puis démontrez qu’il contient tous les termes de (vn) partir d’un certain rang en utilisant l’hypothèse (2) puis l’hypothèse (1).

Partie B

Observez la particularité de cette suite : son terme général est défini par une relation qui n’est ni du type un = f(n) ni du type un = f(un).

>  1. Démontrez les inégalités par récurrence. → fiche  C20 

>  2. a) Exprimez vn+1 en fonction de n et de un puis exprimer vn+1 en fonction de vn. → fiche  C22 B 

b) Utilisez les formules concernant les suites géométriques. → fiche  C22 C 

Corrigé

Partie A

Soit un intervalle de ℝ, où A ∈ ℝ.

D’après l’hypothèse (2), la suite tend vers , donc à partir d’un certain rang , l’intervalle contient tous les termes de .

D’autre part, d’après l’hypothèse (1), est inférieur ou égal à à partir d’un rang .

Ainsi, à partir du maximum des rangs
et , l’intervalle contient tous
les termes de et également tous les
termes de car est supérieur ou égal à .

Si et , alors et , donc : .

Donc tout intervalle de la forme contient tous les termes
de à partir d’un certain rang ce qui signifie que la suite tend
vers .

Partie B

> 1. Étude de la convergence de la suite (un)

a) Notons P(n) la propriété : un ≥ 0 et démontrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 3, P(n) est vraie.

Initialisation : ,

et ,
donc et est vraie.

Ici, l’initialisation commence avec n = 3, mais on a besoin de calculer les termes précédents pour obtenir la valeur de u3.

Hérédité : soit un entier, n ≥ 3, on suppose que P(n) est vraie c’est-à-dire .

En multipliant par qui est positif, puis en ajoutant , on obtient : , c’est-à-dire : .

Or n ≥ 3, donc n – 1 ≥ 2 > 0.

Ainsi, , ce qui signifie que P(n + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété P(n) est vraie au rang 3 et héréditaire. Donc :

pour tout entier n ≥ 3, .

b) Notons P(n) la propriété : un ≥ n – 2 et démontrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 4, P(n) est vraie.

Initialisation : ,
donc et P(4) est vraie.

Ici, l’initialisation commence avec n = 4 et on peut vérifier que P(4) est vraie sans calculer les termes précédents.

Hérédité : soit un entier, n ≥ 4, on suppose que P(n) est vraie c’est-à-dire . On doit démontrer que P(n + 1) est vraie, soit .

On utilise ici un raisonnement par équivalences.

 ; or pour n ≥ 3, un ≥ 0, donc a fortiori pour n ≥ 4, un ≥ 0 ; donc , soit . Ainsi, P(n + 1) est vraie.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 4 et héréditaire.
Donc, pour tout entier , .

c) Pour tout entier , et , donc, d’après la propriété démontrée dans la partie A, .

> 2. Utilisation d’une suite auxiliaire géométrique

a) Pour tout entier naturel n,
, donc :

Attention Remplacez par deux fois dans l’expression de .

D’où, pour tout entier naturel n,

vn+1 = 4un – 6n + 15 et vn = 12un – 18n + 45 donc .

(vn) est donc une suite géométrique de raison .

b) .

(vn) est la suite géométrique de raison et de premier terme , donc, pour tout entier naturel , .

Comme , alors .

D’où, pour tout entier naturel n, .