On suppose connu le résultat suivant  :

La suite tend vers lorsque tend vers si tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Soient et deux suites telles que  :

• est inférieur ou égal à à partir d’un certain rang 
• tend vers lorsque tend vers .

>  Démontrer que la suite tend vers lorsque tend vers . (1  point)

Soit (u_n) la suite définie par son premier terme u₀  =  0 et pour tout entier naturel n, .

>  1.  a)  Démontrer que pour tout entier naturel , . (0,75  point)

b)  Démontrer que pour tout entier naturel , . (0,75  point)

c)  En déduire, en utilisant le résultat démontré dans la partie A, la limite de la suite (u_n). (0,5 point)

>  2.  a)  Pour tout entier naturel n, on pose .

Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison . (1  point)

b)  En déduire l’expression de v_n puis celle de u_n en fonction de n. (1  point)