Étudier une suite récurrente double

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une suite récurrente double

Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1200_00_33C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant :

La suite tend vers lorsque tend vers si tout intervalle de la forme contient tous les termes de à partir d’un certain rang.

Soit un réel strictement supérieur à 1.

Pour tout entier naturel , on pose .

> Démontrer que tend vers lorsque tend vers . (1,5 point)

PARTIE B

Étude d’une suite récurrente double

Soit la suite définie par u0= 0, u1= 1 et pour tout entier naturel n,

.

La suite est définie pour tout entier naturel par : .

>1.a) Démontrer que la suite est géométrique. Préciser sa raison. (0,75 point)

b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que . (0,5 point)

(1) Saisir A

(2) v prend la valeur …

(3) n prend la valeur …

(4) Tant que … faire

(5) v prend la valeur …

(6) n prend la valeur …

(7) Retourner (…)

d) Compléter l’algorithme ci-contre qui
permet de trouver l’indice du premier terme
de la suite supérieur ou égal au nombre A saisi. Montrer que cet algorithme
fonctionne. (0,5 point)

>2.a) Démontrer que : pour tout entier , . (0,5 point)

b) En déduire l’expression de en fonction de n pour tout entier naturel n. (0,75 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Suites numériques.

Les conseils du correcteur

Partie A

Choisissez un intervalle de la forme A> 0, puis résolvez l’inéquation à l’aide de la fonction .

Partie B

>  1. a)  Exprimez en fonction de vn. → fiche  C22 B 

b) et c) Utilisez les propriétés des suites géométriques. → fiche  C22 C 

d) Initialisez la valeur de la suite (vn) et de l’indice n dans les lignes (2) et (3) ; puis trouvez la condition d’arrêt dans la ligne (4) ; enfin utilisez les formules de récurrence dans les lignes (5) et (6).

>  2. a) Utilisez un raisonnement par récurrence. → fiche  C20 

b) Utilisez la formule donnant la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. → fiche  C22 D 

Corrigé

Partie A

q > 1, donc pour tout entier naturel , qn> 0.

  • Soit un intervalle de .
  • Si , alors pour tout entier naturel n, , donc contient tous les termes de la suite (un).
  • Si , on résout l’inéquation , c’est-à-dire : .

Il faut connaître le sens de variation de la fonction ln et ses propriétés algébriques, notamment (a> 0).

A> 0, qn> 0, et la fonction est strictement croissante sur , donc l’inéquation est équivalente à , donc à .

Or q> 1, donc , et équivaut à .

On note le plus petit entier tel que .

Alors pour tout entier , , ce qui signifie que, à partir de l’indice , tous les termes de la suite sont dans l’intervalle .

  • Ainsi, pour tout nombre A, l’intervalle contient tous les termes de à partir d’un certain rang, ce qui signifie que la suite tend vers lorsque tend vers .

Partie B

Chaque terme d’une telle suite s’exprime en fonction des deux précédents.

>1. Étude d’une suite auxiliaire géométrique

a) Pour tout entier naturel n,

,

,

donc la suite est géométrique de raison 5.

b). Donc, d’après la question précédente :

pour tout entier naturel , , soit .

c) Comme , d’après la partie A, .

(1) Saisir A

(2) v prend la valeur 1

(3) n prend la valeur 0

(4) Tant que v<A faire

(5) v prend la valeur v × 5

(6) n prend la valeur n+1

(7) Retourner (n)

d) L’instruction « Tant que… » est effectuée jusqu’à ce que la condition ne soit plus vérifiée.

Pour que l’algorithme fonctionne, il ne doit pas tourner en boucle sans s’arrêter.

Ici, on s’arrête dès que c’est-à-dire dès que et comme la suite a pour limite , l’algorithme fonctionne.

>2. Détermination de la suite (un) sous forme explicite

a) Pour tout entier n 1, on note P(n) la propriété : .

Initialisation : et  ; donc P(1) est vraie.

Hérédité : soit n un entier, n 1 ; on suppose que P(n) est vraie, c’est-à-dire .

On en déduit que , ce qui signifie que P(n+ 1) est vraie.

  • La propriété P(n) est vraie au rang 1 et héréditaire, donc :

pour tout entier n 1, .

b) Pour tout entier n 1,

Somme des n premiers termes de la suite géométrique (vn) de premier terme 1 et de raison 5.

Donc, pour tout entier n 1, .

Pour n= 0, u0= 0 et .

Cette vérification permet d’étendre la formule à tout entier naturel.

On peut donc conclure que :
pour tout entier naturel n, .