Étudier une suite récurrente double

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Étudier une suite récurrente double

Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1200_00_33C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant  :

La suite tend vers lorsque tend vers si tout intervalle de la forme contient tous les termes de à partir d’un certain rang.

Soit un réel strictement supérieur à 1.

Pour tout entier naturel , on pose .

>  Démontrer que tend vers lorsque tend vers . (1,5 point)

PARTIE B

Étude d’une suite récurrente double

Soit la suite définie par u0=  0, u1=  1 et pour tout entier naturel n,

.

La suite est définie pour tout entier naturel par  : .

>1.a)  Démontrer que la suite est géométrique. Préciser sa raison. (0,75  point)

b)  Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de . (0,5  point)

c)  En déduire que . (0,5 point)

(1) Saisir A

(2) v prend la valeur …

(3) n prend la valeur …

(4) Tant que … faire

(5) v prend la valeur …

(6) n prend la valeur …

(7) Retourner (…)

d)  Compléter l’algorithme ci-contre qui
permet de trouver l’indice du premier terme
de la suite supérieur ou égal au nombre A saisi. Montrer que cet algorithme
fonctionne. (0,5  point)

>2.a)  Démontrer que  : pour tout entier , . (0,5  point)

b)  En déduire l’expression de en fonction de n pour tout entier naturel n. (0,75  point)

Durée conseillée  : 40  min.

Le thème en jeu

Suites numériques.

Les conseils du correcteur

Partie A

Choisissez un intervalle de la forme A>  0, puis résolvez l’inéquation à l’aide de la fonction .

Partie B

>    1.  a)    Exprimez en fonction de vn. →  fiche    C22  B 

b)  et c)  Utilisez les propriétés des suites géométriques. →  fiche    C22  C 

d)  Initialisez la valeur de la suite (vn) et de l’indice n dans les lignes (2) et (3)  puis trouvez la condition d’arrêt dans la ligne (4)  enfin utilisez les formules de récurrence dans les lignes (5) et (6).

>    2.  a)  Utilisez un raisonnement par récurrence. →  fiche    C20 

b)  Utilisez la formule donnant la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. →  fiche    C22  D 

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