Événements indépendants

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Événements indépendants

Probabilités conditionnelles

Corrigé

33

Ens. spécifique

matT_1200_00_62C

Sujet inédit

Exercice • 3 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

On rappelle que deux événements et sont indépendants si .

Soient et deux événements associés à une expérience aléatoire.

Démontrer que si et sont indépendants, alors et le sont aussi. (1 point)

PARTIE B

Calculs avec des événements indépendants

Chaque jour, Jeanne ne peut pas utiliser son portable au travail lorsque l’un des deux événements suivants se produit :

 : « Son portable est déchargé » ;

 : « Elle a oublié son portable chez elle ».

On suppose que ces deux événements sont indépendants.

Elle a observé, d’une part, que la probabilité de est égale à 0,05 et, d’autre part, qu’elle oublie son portable chez elle un jour sur dix.

>1. Un jour de travail donné, quelle est la probabilité que Jeanne oublie son portable chez elle et qu’il ne soit pas déchargé ? (0,5 point)

>2. Un jour de travail donné, quelle est la probabilité qu’elle ne puisse pas se servir de son portable ? (0,75 point)

>3. Au cours d’une semaine, elle travaille 5 jours. On admet que le fait qu’elle oublie son portable chez elle un jour donné est indépendant du fait qu’elle l’oublie ou non les autres jours. Quelle est la probabilité de l’événement  : « Elle a oublié son portable chez elle au moins une fois dans la semaine » ? (0,75 point)

Durée conseillée : 30 min.

Le thème en jeu

Probabilités conditionnelles • Indépendance.

Les conseils du correcteur

Partie A

Calculez à l’aide de la formule des probabilités totales. → fiche  C47 C 

Partie B

>  1. Notez que les deux événements sont indépendants. → fiche  C49 

>  2. Calculez en utilisant la formule . → fiche  C47 A 

>  3. Calculez la probabilité de l’événement contraire de et appliquez . → fiche  C47 A 

Corrigé

PARTIE A

D’après la formule des probabilités totales :

, ainsi [1].

Comme et sont indépendants : .

Donc, en remplaçant dans la relation [1] :

.

On a démontré que , ce qui signifie que les événements et sont indépendants.

PARTIE B

>1. Utilisation de l’indépendance

On souhaite calculer la probabilité de l’événement . D’après la partie A, comme les événements et sont indépendants, les événements et sont indépendants aussi, donc :

.

La probabilité que Jeanne oublie son portable chez elle et qu’il ne soit pas déchargé est 0,095.

>2. Calcul de la probabilité de la réunion d’événements

Jeanne ne peut pas se servir de son portable s’il est déchargé ou si elle l’oublie chez elle, on doit donc calculer .

Comme les événements et sont indépendants :

.

Souvenez-vous :

Ainsi .

La probabilité qu’elle ne puisse pas se servir de son portable est 0,145.

>3. Calcul avec des expériences indépendantes successives

L’événement contraire de A est : « Jeanne n’a pas oublié son portable chez elle pendant la semaine ».

Comme le fait qu’elle oublie son portable chez elle un jour donné est indépendant du fait qu’elle l’oublie les autres jours, on a :

, et donc :

.

Souvenez-vous : .

Autre méthode :

On appelle X la variable aléatoire qui, a toute semaine donnée, associe le nombre de jours où Jeanne a oublié son portable chez elle. X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,1.