Évolution annuelle du nombre d’exposants d’une brocante

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Évolution annuelle du nombre d’exposants d’une brocante

Suites numériques

matT_1309_07_02C

Ens. spécifique

13

CORRIGE

France métropolitaine • Septembre 2013

Exercice 4 • 5 points

Le responsable du foyer des jeunes d’un village a décidé d’organiser une brocante annuelle. Pour la première brocante, en 2012, il a recueilli 110 inscriptions.

D’après les renseignements pris auprès d’autres organisateurs dans les villages voisins, il estime que d’une année sur l’autre, 90 % des exposants se réinscriront et que 30 nouvelles demandes seront déposées.

On désigne par le nombre d’exposants en avec un entier naturel.

Ainsi est le nombre d’exposants en 2012, soit .

>1. Quel est le nombre d’exposants attendu pour 2013 ? (0,5 point)

>2. Justifier que, pour tout entier naturel  :

. (0,5 point)

>3. Vu la configuration actuelle de la manifestation dans le village, le nombre d’exposants ne peut pas excéder 220.

Recopier et compléter l’algorithme proposé ci-dessous afin qu’il permette de déterminer l’année à partir de laquelle l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes d’inscription : (1 point)


Variables :


u est un nombre réel

n est un nombre entier naturel


Initialisation :


Affecter à u la valeur ….

Affecter à n la valeur 2012


Traitement :


Tant que ….

 Affecter à u la valeur ….

 Affecter à n la valeur n + 1


Sortie :


Afficher …

>4. Pour tout entier naturel n, on pose .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,9. (0,75 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

. (0,5 point)

c) Déterminer le résultat recherché par l’algorithme de la question 3. en résolvant une inéquation. (0,75 point)

>5. L’organisateur décide d’effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d’inscriptions. Il affirme au maire qu’il suffit de lui autoriser 300 emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? (1 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

>3. L’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes si leur nombre est supérieur à 220.

Corrigé
Corrigé

>1. Calculer un terme d’une suite

90 % des 110 exposants inscrits en 2012 se réinscrivent en 2013, et il s’y ajoute 30 nouvelles demandes, donc le nombre d’exposants attendu pour 2013 est :

.

Donc 129 exposants sont attendus pour 2013.

>2. Démontrer une relation de récurrence entre deux termes successifs d’une suite

Par un raisonnement analogue à celui de la question précédente :

>3. Compléter un algorithme

Notez bien

La boucle qui figure dans la partie « Traitement » de cet algorithme est une boucle « avec arrêt conditionnel » ; elle s’exécute tant que la condition u < 220 est remplie. On ne peut pas prévoir à l’avance le nombre d’étapes.

L’algorithme complété suivant permet de déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de demandes sera supérieur à 220 :


Variables :


u est un nombre réel

n est un nombre entier naturel


Initialisation :


Affecter à u la valeur 110

Affecter à n la valeur 2012


Traitement :


Tant que u< 220

Affecter à u la valeur 0,9u+ 30

Affecter à n la valeur n + 1


Sortie :


Afficher n

>4. Pour tout entier naturel n, on pose .

a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

.

Donc la suiteest une suite géométrique de raison 0,9.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite

En utilisant l’expression du terme général d’une suite géométrique, pour tout entier naturel  :

.

Or , donc et :

c) Résoudre une inéquation

Déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de demandes sera supérieur à 220 revient à résoudre l’inéquation , soit :

.

Cette inéquation équivaut à , c’est-à-dire à :

.

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur son intervalle de définition, cette inéquation équivaut à :

.

Or car , donc l’inéquation est équivalente à , soit car .

Finalement, c’est à partir de l’année 2012 + 9, c’est-à-dire 2021, que le nombre de demandes dépassera 220.

>5. Montrer que tous les termes d’une suite sont inférieurs à un nombre donné

Pour tout entier naturel, , donc .

Si 300 emplacements sont disponibles et si l’évolution du nombre de demandes se poursuit de la même manière, toutes les demandes pourront être satisfaites.

Donc l’organisateur de la brocante a raison de proposer le nombre de 300 emplacements.