Évolution d’un capital placé à intérêts composés

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Évolution d&rsquo un capital placé à intérêts composés
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Analyse &bull Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1304_12_02C

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Pondichéry &bull Avril 2013

Exercice 3 &bull 5 points

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 &euro à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note le capital du client au 1er janvier de l&rsquo année , où est un entier naturel.

&gt 1. Calculer et . Arrondir les résultats au centime d&rsquo euro. (0,5 point)

&gt 2. Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . (1 point)

&gt 3. On donne l&rsquo algorithme suivant :

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Entrée :

Saisir un nombre S supérieur à 3 000.

Initialisation :

Affecter à n la valeur 0 

Affecter à U la valeur 3 000.

Traitement :

Tant que U&le S

n prend la valeur n + 1 

U prend la valeur U&times 1,025.

Fin tant que

Sortie :

Afficher le nombre 2 000 + n

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a) Pour la valeur S= 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l&rsquo unité. (1 point)

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Valeur de n

0

&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip .

Valeur de U

3 000

&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip .

Condition U&le S

vrai

&hellip &hellip &hellip &hellip &hellip .

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b) En déduire l&rsquo affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000. (0,5 point)

&gt 4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d&rsquo une somme de 5 000 &euro . Montrer que le capital de son placement n&rsquo est pas suffisant à cette date. (0,75 point)

&gt 5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel &laquo  Tant que &raquo &bull Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

&gt 1. et 2. Dans le cas d&rsquo un placement à intérêts composés, les intérêts produits une année s&rsquo ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les années suivantes. De plus, augmenter une quantité de 2,5 % revient à la multiplier par 1, 025.

&gt 3. Déterminez ce que représentent les variables n et U intervenant dans l&rsquo algorithme.

&gt 4. 2 013 = 2 000 + 13.

&gt 5. Déterminez n tel que Cn&ge 10 &times 3 000.