Évolution d’un capital placé à intérêts composés

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Évolution d’un capital placé à intérêts composés
 
 

Analyse • Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1304_12_02C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 3 • 5 points

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. On note le capital du client au 1er janvier de l’année , où est un entier naturel.

>1. Calculer et . Arrondir les résultats au centime d’euro. (0,5 point)

>2. Exprimer en fonction de . En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a la relation : . (1 point)

>3. On donne l’algorithme suivant :

 

Entrée :

Saisir un nombre S supérieur à 3 000.

Initialisation :

Affecter à n la valeur 0 ;

Affecter à U la valeur 3 000.

Traitement :

Tant que US

n prend la valeur n + 1 ;

U prend la valeur U× 1,025.

Fin tant que

Sortie :

Afficher le nombre 2 000 + n

 

a) Pour la valeur S= 3 300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité. (1 point)

 

Valeur de n

0

…………….

Valeur de U

3 000

…………….

Condition US

vrai

…………….

 

b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3 000. (0,5 point)

>4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 €. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date. (0,75 point)

>5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>1. et 2. Dans le cas d’un placement à intérêts composés, les intérêts produits une année s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les années suivantes. De plus, augmenter une quantité de 2,5 % revient à la multiplier par 1, 025.

>3. Déterminez ce que représentent les variables n et U intervenant dans l’algorithme.

>4. 2 013 = 2 000 + 13.

>5. Déterminez n tel que Cn 10 × 3 000.

Corrigé

>1. Calculer un capital après une année et deux années de placement

 ;

 

Notez bien

1,025 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2,5 %.

.

Donc le 1erjanvier 2001, le client possède 3 075 €, le 1erjanvier 2002 il possède 3 151,88 € (arrondi au centime d’euro).

>2. Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Puisque de l’année 2000 +n à l’année 2000 +n + 1, le capital augmente de 2,5 %, pour tout entier naturel n :

La suite de terme général est donc une suite géométrique de raison 1,025, d’où, pour tout entier naturel n :

 

Notez bien

À partir de , la condition (c’est-à-dire ici ) n’est plus remplie, donc on sort de la boucle « tant que » et l’algorithme se poursuit.

>3.a) Compléter un tableau reprenant les différentes étapes du fonctionnement d’un algorithme

 

Valeur den

0

1

2

3

4

Valeur deU

3 000

3 075

3 151,88

3 230,67

3 311,44

ConditionUS

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

 

b) Donner le nombre affiché en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, lorsque l’algorithme s’arrête, .

Donc le nombre affiché est 2004.

c) Interpréter le résultat d’un algorithme

D’après les questions précédentes, par exemple, c’est au 1er janvier 2004 que le capital dépasse 3 300 € pour la première fois (au 1er janvier 2003, le capital n’était que 3 230,67 €). En général, lorsqu’on saisit un nombre S supérieur à 3 000, l’algorithme affiche l’année à partir de laquelle, au 1erjanvier, le capital dépasse le montant S.

>4. Calculer un terme d’une suite

Le capital au 1er janvier 2013 est .

D’après la question 2., , donc en arrondissant au centime d’euro.

Au 1erjanvier 2013, le capital du client se montait à 4 135,53 € environ, il est donc inférieur à la somme de 5 000 € dont il avait besoin.

>5. Déterminer le rang à partir duquel un terme d’une suite atteint un seuil donné

On cherche tel que .

.

Pour résoudre cette inéquation, on peut calculer les puissances successives de 1,025.

On peut aussi utiliser la fonction ln, strictement croissante sur  :

.

En effet, , donc .

Or, , donc :

, car est un entier naturel.

Donc c’est à partir du 1erjanvier 2094 que le capital initial du client pourrait être multiplié par 10.