Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Évolution d’une population d’animaux

Matrices et suites

Corrigé

Ens. de Spécialité

matT_1304_12_11C

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 3 • 5 points

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.

Pour tout entier naturel n, on note j_n le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et a_n le nombre d’animaux adultes après n années d’observation. Il y a, au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j₀ = 200 et a₀ = 500.

On admet que pour tout entier naturel n on a :

On introduit les matrices suivantes :

et, pour tout entier naturel n, .

> 1. a) Montrer que pour tout entier naturel n, .

b) Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U_n en fonction de Aⁿ et de U₀.

> 2. On introduit les matrices suivantes

et .

a) On admet que la matrice Q est inversible et que .

Montrer que Q &times D &times Q^{&minus 1} = A.

b) Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : Aⁿ =Q &times Dⁿ &times Q^{&minus 1}.

c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminer Dⁿ en fonction de n.

> 3. On admet que pour tout entier naturel n non nul,

a) En déduire les expressions de j_n et a_n en fonction de n et déterminer

les limites de ces deux suites.

b) Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1  → 1. c), 2. b) et 2. c)
Suites et limites  E2c  → 3. a)
Suites géométriques et limites  E4d  → 3. a)

Calculatrice

Opérations sur les matrices  C5  → 1. b) et 2. a)

Nos coups de pouce

> 2.a) Pour vérifier cette égalité, on effectue les produits successifs en utilisant l’associativité du produit matriciel : on effectue tout d’abord le produit , dont le résultat est ensuite à multiplier à droite par .

> 3.a) Utilisez la relation de la question 1. c) pour déterminer et en déduire les expressions de et .

> 3.b) Interprétez les limites précédentes : dire que tend vers signifie que l’on considère la situation de la population d’animaux au bout d’un grand nombre d’années.