Évolution d’une population d’animaux

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Évolution d’une population d’animaux
 
 

Matrices et suites

Corrigé

41

Ens. de Spécialité

matT_1304_12_11C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 3 • 5 points

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.

Pour tout entier naturel n, on note jn le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et an le nombre d’animaux adultes après n années d’observation. Il y a, au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j0 = 200 et a0 = 500.

On admet que pour tout entier naturel n on a :

On introduit les matrices suivantes :

et, pour tout entier naturel n, .

> 1. a) Montrer que pour tout entier naturel n, .

b) Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

c) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Un en fonction de An et de U0.

> 2. On introduit les matrices suivantes

et .

a) On admet que la matrice Q est inversible et que .

Montrer que Q × D × Q−1 = A.

b) Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul : An =Q × Dn × Q−1.

c) Pour tout entier naturel n non nul, déterminer Dn en fonction de n.

> 3. On admet que pour tout entier naturel n non nul,

.

a) En déduire les expressions de jn et an en fonction de n et déterminer

les limites de ces deux suites.

b) Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1  → 1. c), 2. b) et 2. c)
  • Suites et limites  E2c  → 3. a)
  • Suites géométriques et limites  E4d  → 3. a)

Calculatrice

Opérations sur les matrices  C5  → 1. b) et 2. a)

Nos coups de pouce

> 2.a) Pour vérifier cette égalité, on effectue les produits successifs en utilisant l’associativité du produit matriciel : on effectue tout d’abord le produit , dont le résultat est ensuite à multiplier à droite par .

> 3.a) Utilisez la relation de la question 1. c) pour déterminer et en déduire les expressions de et .

> 3.b) Interprétez les limites précédentes : dire que tend vers signifie que l’on considère la situation de la population d’animaux au bout d’un grand nombre d’années.

Corrigé

> 1.a) Établir une égalité matricielle

Pour tout entier naturel n :

b) Réaliser un calcul matriciel et l’interpréter

Après un an d’observation, il y a 287 animaux jeunes et 437 adultes.

Après deux ans d’observation, il y a 265 animaux jeunes et 453 adultes.

c) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : .

Initialisation : d’après la question 1.a), .

Hérédité : on suppose que où . On démontre que  :

.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : d’après le principe de récurrence, on déduit donc que, pour tout entier naturel n non nul : .

> 2.a) Établir une égalité matricielle

Q × D × Q–1

b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : .

Initialisation : d’après la question 2.a), .

Hérédité : on suppose que où .

On démontre que  :

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : d’après le principe de récurrence, on déduit donc que, pour tout entier naturel n non nul : .

c) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : .

Initialisation : .

Hérédité : on suppose que où .

On démontre que  :

Dk+1

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : d’après le principe de récurrence, on déduit donc que, pour tout entier naturel n non nul : .

> 3.a) Obtenir la formule explicite d’une suite à l’aide d’un calcul matriciel

Pour tout entier naturel n non nul : . On a donc :

Ainsi, pour tout entier naturel non nul : et .

Comme , on en déduit que .

Par produit et différence, on a alors .

Par produit et somme, on a alors .

b) Interpréter concrètement une limite

Au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’animaux jeunes va se stabiliser à 270 individus, le nombre d’animaux adultes va se stabiliser à 450 individus.