Matrices et suites
Corrigé
41
Ens. de Spécialité
matT_1304_12_11C
Pondichéry • Avril 2013
Exercice 3 • 5 points
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel n, on note jn le nombre d'animaux jeunes après n années d'observation et an le nombre d'animaux adultes après n années d'observation. Il y a, au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi j0
On admet que pour tout entier naturel n on a :
On introduit les matrices suivantes :
et, pour tout entier naturel n, 
.
.
et 
.
.
Montrer que Q × D × Q−1 = A.
.
les limites de ces deux suites.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Matrices • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Raisonnement par récurrence
E1 → 1. c), 2. b) et 2. c) - Suites et limites
E2 c → 3. a) - Suites géométriques et limites
E4 d → 3. a)
Calculatrice
Opérations sur les matrices
Nos coups de pouce
, dont le résultat est ensuite à multiplier à droite par 
.
et en déduire les expressions de 
et 
.
tend vers 
signifie que l'on considère la situation de la population d'animaux au bout d'un grand nombre d'années.
> 1. a) Établir une égalité matricielle
Pour tout entier naturel n :
b) Réaliser un calcul matriciel et l'interpréter
c) Démontrer une égalité matricielle par récurrence
On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : 
.
Initialisation : d'après la question 
.
Hérédité : on suppose que 
où 
. On démontre que 
:
.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, on déduit donc que, pour tout entier naturel n non nul : 
.
> 2. a) Établir une égalité matricielle
Q × D × Q–1
b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence
On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : 
.
Initialisation : d'après la question 
.
Hérédité : on suppose que 
où 
.
On démontre que 
:
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, on déduit donc que, pour tout entier naturel n non nul : 
.
c) Démontrer une égalité matricielle par récurrence
On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : 
.
Initialisation : 
.
Hérédité : on suppose que 
où 
.
On démontre que 
:
Dk+1
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, on déduit donc que, pour tout entier naturel n non nul : 
.
> 3. a) Obtenir la formule explicite d'une suite à l'aide d'un calcul matriciel
Pour tout entier naturel n non nul : 
. On a donc :
Ainsi, pour tout entier naturel 
non nul : 
et 
.
Comme 
, on en déduit que 
.
Par produit et différence, on a alors 
.
Par produit et somme, on a alors 
.
b) Interpréter concrètement une limite
Au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'animaux jeunes va se stabiliser à 270 individus, le nombre d'animaux adultes va se stabiliser à 450 individus.