Évolution d'une population de singes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 3 • 6 points

Évolution d’une population de singes

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.

partie A

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.

Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.

À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année.

Pour tout entier naturel 4050616-Eqn58, le terme 4050616-Eqn59 représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 4050616-Eqn60. On a ainsi 4050616-Eqn61.

 1. Calculer l’effectif de cette population de singes :

a) au 1er janvier 2005, (0,5 point)

b) au 1er janvier 2006, en arrondissant à l’entier. (0,5 point)

 2. Justifier que, pour tout entier naturel 4050616-Eqn62, on a 4050616-Eqn63. (0,5 point)

 3. Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l’aide d’un algorithme, au bout de combien d’années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.

Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous. (1 point)

L1 :

Variables

u un réel, n un entier

L2 :

Initialisation

u prend la valeur 25 000

L3 :

 

n prend la valeur 0

L4 :

Traitement

Tant que ………faire

L5 :

   

u prend la valeur………

L6 :

   

n prend la valeur………

L7 :

 

Fin Tant que

L8 :

Sortie

Afficher n

 4. Montrer que la valeur de 4050616-Eqn64 affichée après l’exécution de l’algorithme est 10. (0,5 point)

partie B

Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel 4050616-Eqn65, le terme 4050616-Eqn66 de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 4050616-Eqn67. On a ainsi 4050616-Eqn68.

 1. a) Calculer 4050616-Eqn69 et 4050616-Eqn70. (0,5 point)

b) Justifier que, pour tout entier naturel 4050616-Eqn71, on a :

4050616-Eqn72. (0,5 point)

 2. On considère la suite 4050616-Eqn73 définie pour tout entier naturel 4050616-Eqn74 par :

4050616-Eqn75.

a) Montrer que 4050616-Eqn76 est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de 4050616-Eqn77. (0,5 point)

b) Pour tout entier naturel 4050616-Eqn78, exprimer 4050616-Eqn79 en fonction de 4050616-Eqn80. (0,5 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel 4050616-Eqn81, on a :

4050616-Eqn82. (0,5 point)

d) Calculer la limite de la suite 4050616-Eqn83 et interpréter ce résultat. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. Chaque année, le nombre de singes baisse de 15 %, il est donc multiplié par 0,85.

Partie B

 2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

 2. d) Une suite géométrique de raison 4050616-Eqn124 telle que 4050616-Eqn125 a pour limite 0.

Corrigé

Corrigé

partie A

 1. Calculer deux termes d’une suite

a) Puisque le nombre de singes baisse de 15 % chaque année, l’effectif de la population de singes au 1er janvier 2005 (c’est-à-dire un an après le 1er janvier 2004) est :

4050616-Eqn217

4050616-Eqn218

Notez bien

0,85 est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15 % ; une quantité qui baisse de 15 % est multipliée par 0,85.

b) L’effectif de la population de singes au 1er janvier 2006 (c’est-à-dire deux ans après le 1er janvier 2004) est :

4050616-Eqn220

soit, en arrondissant à l’unité :

4050616-Eqn221

 2. Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel 4050616-Eqn222 :

4050616-Eqn223

La suite 4050616-Eqn224 est géométrique de raison 4050616-Eqn225

Donc, pour tout entier naturel 4050616-Eqn226 :

4050616-Eqn227

 3. Compléter un algorithme

Gagnez des points !

D’après la question précédente, la suite 4050616-Eqn228 a pour limite 0. Donc, pour tout nombre réel strictement positif 4050616-Eqn229 fixé, il existe un entier naturel 4050616-Eqn230 tel que, pour tout 4050616-Eqn231, 4050616-Eqn232.

Pour savoir au bout de combien d’années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera pour la première fois inférieur à 5 000, on peut utiliser l’algorithme ci-dessous :

L1 :

Variables

4050616-Eqn233 un réel, 4050616-Eqn234 un entier

L2 :

Initialisation

4050616-Eqn235 prend la valeur 25 000

L3 :

 

4050616-Eqn236 prend la valeur 0

L4 :

Traitement

Tant que 4050616-Eqn237 faire

L5 :

   

4050616-Eqn238 prend la valeur 4050616-Eqn239

L6 :

   

4050616-Eqn240 prend la valeur 4050616-Eqn241

L7 :

 

Fin Tant que

L8 :

Sortie

Afficher 4050616-Eqn242

 4. Déterminer le nombre affiché en sortie d’un algorithme

On peut dresser un tableau d’étapes (valeurs de 4050616-Eqn243 arrondies à l’unité) :

u

25 000

21 250

18 063

15 353

13 050

11 093

9 429

8 014

6 812

5 790

4 922

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

u 5 000

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

L’algorithme calcule les termes successifs de la suite ; il s’arrête dès qu’il obtient un terme inférieur à 5 000 et affiche l’indice du « premier » terme inférieur à 5 000. D’après le tableau précédent, le « premier » terme inférieur à 5 000 est 4050616-Eqn247.

D’ailleurs 4050616-Eqn248 et 4050616-Eqn249

La valeur de 4050616-Eqn250 affichée après l’exécution de l’algorithme est donc :

4050616-Eqn251

Partie B

 1. a) Calculer deux termes d’une suite

4050616-Eqn252

4050616-Eqn253

4050616-Eqn254

4050616-Eqn255

b) Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite

Pour tout entier naturel 4050616-Eqn256 :

4050616-Eqn257

4050616-Eqn258

4050616-Eqn259

 2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 4050616-Eqn260 :

4050616-Eqn261

4050616-Eqn262

4050616-Eqn263

On en déduit que 4050616-Eqn264 est une suite géométrique de raison 0,75.

Son premier terme est 4050616-Eqn265.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel 4050616-Eqn266 :

4050616-Eqn267

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel 4050616-Eqn268 :

4050616-Eqn269

4050616-Eqn270

d) Déterminer et interpréter la limite d’une suite

4050616-Eqn271

La suite 4050616-Eqn272 a pour limite 1 600.

À long terme, le nombre de singes dans la réserve se rapprochera de 1 600.