Analyse • Suites numériques
Corrigé
11
Ens. Spécifique
matT_1306_01_02C
Afrique • Juin 2013
Exercice 1 • 5 points
Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de la population quitte la ville et 1 200 personnes s'y installent.
En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.
On note 
le nombre d'habitants de la ville l'année 2012 
.
On a donc 
On admet que la suite 
est définie pour tout entier naturel 
par :
On considère la suite 
définie pour tout entier naturel 
par :
est :
est :
a pour limite :
| Variables | U, N |
| Initialisation | U prend la valeur 40 000 N prend la valeur 0 |
| Traitement | Tant que U> 10 000 N prend la valeur N + 1 U prend la valeur Fin du Tant que |
| Sortie | Afficher N |
Cet algorithme permet d'obtenir :
pour lequel on a 
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
et la relation entre 
et 
.
en utilisant le résultat suivant : une suite géométrique de raison 
telle que 
a pour limite 0. Puis déterminez la limite de 
.
Info
Ce résultat signifie qu'en 2013, la ville a 36 200 habitants.
> 1. Calculer un terme d'une suite
> 2. Déterminer la nature (arithmétique ou géométrique) et la raison d'une suite
Pour tout entier naturel 
:
> 3. Déterminer la limite d'une suite
est une suite géométrique de raison 0,875 et 
,
donc 
.
Info
Au bout d'un certain nombre d'années, la population de la ville tend vers 9 600 habitants.
Pour tout entier naturel 
, 
, donc 
> 4. Étudier le fonctionnement d'un algorithme
L'algorithme calcule les termes successifs de la suite tant qu'ils sont strictement supérieurs à 10 000. Il comporte une boucle « avec arrêt conditionnel » : on sort de la boucle lorsqu'on obtient un terme inférieur ou égal à 10 000.
L'algorithme affiche alors l'indice de ce terme.
> 5. Déterminer le résultat affiché par un algorithme
La valeur affichée par l'algorithme est 33.
On peut vérifier en déterminant, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée des termes successifs de la suite on obtient :
Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.