Évolution de l'effectif d'un lycée

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Septembre 2014

Exercice 2 • 5 points

Évolution de l’effectif d’un lycée

On comptait 700 élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.

À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l’établissement, le lycée conserve 70 % de son effectif pour l’année suivante.

Il reçoit 240 nouveaux élèves à chaque rentrée.

1. Calculer le nombre d’élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014. (1 point)

2. On définit la suite 4448237-Eqn10 par 4448237-Eqn11 et, pour tout entier naturel 4448237-Eqn12 :

4448237-Eqn13.

Soit la suite 4448237-Eqn14 définie, pour tout entier naturel 4448237-Eqn15, par 4448237-Eqn16.

a) Montrer que la suite 4448237-Eqn17 est une suite géométrique de raison 0,7.

Préciser son premier terme. (1 point)

b) Exprimer 4448237-Eqn18 en fonction de 4448237-Eqn19. (0,5 point)

c) En déduire l’expression de 4448237-Eqn20 en fonction de 4448237-Eqn21. (0,5 point)

3. On choisit de modéliser le nombre d’élèves du lycée par les termes de la suite 4448237-Eqn22.

Il faudra agrandir le lycée dès que l’effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves.

a) Montrer que résoudre l’inéquation 4448237-Eqn23 revient à résoudre l’inéquation 4448237-Eqn24. (1 point)

b) En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ? (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Pourcentage instantané • Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien

Les conseils du correcteur

2. a) Utilisez la définition d’une suite géométrique.

b) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

3. b) Commencez par déterminer le plus petit entier naturel 4448237-Eqn70 tel que 4448237-Eqn71.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer l’effectif d’un lycée deux années successives

• À la rentrée 2013, le lycée a conservé 70 % des 700 élèves de la rentrée 2012, soit 490 élèves, auxquels se sont ajoutés 240 nouveaux élèves.

4448237-Eqn120.

Donc à la rentrée 2013, il y avait 730 élèves dans le lycée.

• 70 % de ces 730 élèves, soit 511 élèves, étaient encore inscrits au lycée à la rentrée 2014, 240 nouveaux élèves ont été accueillis.

4448237-Eqn121.

Donc à la rentrée 2014, le nombre d’élèves du lycée était 751 élèves.

2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 4448237-Eqn122 :

4448237-Eqn123.

Donc 4448237-Eqn124, soit 4448237-Eqn125.

La suite 4448237-Eqn126 est donc une suite géométrique de raison 0,7.

Son premier terme est 4448237-Eqn127.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, si 4448237-Eqn128 est la suite géométrique de raison 4448237-Eqn129 et de premier terme 4448237-Eqn130, alors, pour tout entier naturel 4448237-Eqn131, 4448237-Eqn132, d’où :

4448237-Eqn133

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

4448237-Eqn134, donc 4448237-Eqn135, soit :

4448237-Eqn136

3. a) Montrer l’équivalence de deux inéquations

4448237-Eqn137 équivaut à :

4448237-Eqn138

4448237-Eqn139

4448237-Eqn140

b) Déterminer le rang des termes d’une suite supérieurs ou égaux à un nombre donné

D’après l’énoncé, il faudra agrandir le lycée lorsque l’effectif sera supérieur ou égal à 780 élèves. Puisque le nombre d’élèves du lycée est modélisé par les termes de la suite 4448237-Eqn141, la condition équivaut à 4448237-Eqn142,

c’est-à-dire 4448237-Eqn143.

D’après la question précédente, cette inéquation équivaut à 4448237-Eqn144.

Notez bien

La fonction ln étant strictement croissante sur 4448237-Eqn145, elle « conserve l’ordre » : si 4448237-Eqn146 et 4448237-Eqn147 sont deux réels strictement positifs tels que 4448237-Eqn148, alors 4448237-Eqn149

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 4448237-Eqn150, cette inéquation équivaut à 4448237-Eqn151

Attention !

On divise les deux membres de l’inégalité par 4448237-Eqn152. Or 4448237-Eqn153, donc 4448237-Eqn154 et l’ordre est inversé.

4448237-Eqn155 équivaut à : 4448237-Eqn156

4448237-Eqn157 ; puisque 4448237-Eqn158 est entier, 4448237-Eqn159 équivaut à 4448237-Eqn160.

Il faudra donc agrandir le lycée 5 ans après 2012, c’est-à-dire en 2017.