Évolution de la probabilité de courir un jour donné

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 2 • 5 points

Évolution de la probabilité de courir un jour donné

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

On admet que :

si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;

s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel n, on note :

cn la probabilité de l’événement « Hugo court le (n+1)-ième jour » ;

rn la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le (n+1)-ième jour » ;

Pn la matrice (cnrn) correspondant à l’état probabiliste le (n+1)-ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc P0=(c0r0)=(10).

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. (0,5 point)

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets. (0,5 point)

3. On donne M6=(0,7500160,2499840,7499520,250048).

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité c6 qu’Hugo coure le 7e jour ? (0,5 point)

Déterminer une valeur approchée à 102 près de c6. (0,25 point)

4. a) Exprimer Pn+1 en fonction de Pn. (0,25 point)

b) Montrer que, pour tout entier naturel n :

cn+1=0,2 an+0,6. (0,5 point)

5. Pour tout entier naturel n, on considère la suite (vn) définie par :

vn=cn0,75.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer vn en fonction de n. (0,25 point)

Déterminer la limite de la suite (vn). (0,25 point)

c) Justifier que, pour tout entier naturel n :

cn=0,75+0,25×0,2n. (0,5 point)

d) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ? (0,5 point)

e) Conjecturer alors l’état stable de ce graphe. (0,25 point)

Comment valider votre conjecture ? (0,25 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

La matrice de transition d’un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

4. b) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel n, cn+rn=1.

5. a) Si vn=cn0,75, alors cn=vn+0,75.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :

matT_1606_07_01C_03

Notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet C du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de R.

2. Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est la matrice :

M=(0,80,20,60,4).

3. Utiliser un calcul matriciel pour déterminer une probabilité

P6=(c6r6) et P6=P0M6.

Le calcul matriciel permettant de déterminer la probabilité c6 est :

P0M6=(0,7500160,249984).

Notez bien

0,750016+0,249984=1car c6+r6=1.

À 102 près :

c6=0,75.

4. a) Donner une relation entre les états probabilistes correspondant à deux jours successifs

Pour tout entier naturel n :

Pn+1=MPn.

b) Justifier une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

D’après la question précédente, pour tout entier naturel n :

(cn+1rn+1)=(cnrn) (0,80,20,60,4), donc :

cn+1=0,8 cn+0,6 rn.

Info

On a également rn+1=0,2 cn+0,4 rn.

Or cn+rn=1, donc rn=1cn, donc :

cn+1=0,8 cn+0,6 (1cn)

cn+1=0,8 cn+0,60,6 cn

cn+1=0,2 cn+0,6.

5. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=cn+10,75=0,2 cn+0,6 0,75=0,2(vn+0,75)+0,60,75

vn+1=0,2 vn+0,2×0,750,15.

Donc pour tout entier naturel n :

vn+1=0,2 vn.

La suite (vn) est géométrique de raison 0,2 ; son premier terme est :

v0=c00,75=0,25.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique et déterminer sa limite

Puisque (vn) est la suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme 0,25, pour tout entier naturel n :

vn=0,25×0,2n.

Or 0<0,2<1, donc :

limn+vn=0.

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel, vn=cn0,75, donc :

cn=vn+0,75

cn=0,75+0,25×0,2n.

d) Émettre une conjecture sur une probabilité

Le 29 décembre 2014 est le 363e jour ; la probabilité qu’Hugo coure ce jour-là est c362.

On peut conjecturer que c362 est approximativement égal à la limite de la suite (cn).

Or d’après ce qui précède, limn+cn=0,75.

On peut conjecturer que la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 est environ 0,75.

e) Conjecturer l’état stable d’un graphe probabiliste

D’après ce qui précède, on peut conjecturer que l’état stable du graphe est représenté par la matrice ligne P telle que :

P=(0,750,25).

La somme des deux coefficients de la matrice P est égale à 1, donc pour valider la conjecture, il suffit de vérifier que :

PM=P.