Compléments sur les fonctions • D’après sujet zéro 2020
Évolution de la température d’une baguette
Intérêt du sujet • On modélise la température d’une baguette sortant du four à l’aide d’une fonction. On étudie ensuite la diminution de cette température pendant une minute. La conformité du modèle à l’observation réelle est vérifiée.
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 oC.
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[. Dans cette modélisation, f(t) représente la température en degrés Celsius de la baguette au bout de la durée t, exprimée en heures, après la sortie du four.
Ainsi, f(0,5) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 oC.
On admet alors que la fonction f est définie, pour tout réel t ≥ 0, par .
▶ 1. Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four :
décroît ;
tend à se stabiliser à la température ambiante.
La fonction f fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?
▶ 2. Montrer que l’équation admet une unique solution dans [0 ; + ∞[.
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à 40 oC. On note T0 le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal.
▶ 3. Avec la précision permise par le graphique, lire T0. On donnera une valeur approchée de T0 sous forme d’un nombre entier de minutes.
▶ 4. On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel n, Dn désigne la diminution de température en degrés Celsius d’une baguette entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel n :
.
a) Vérifier que 19 est une valeur approchée de D0 à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
b) Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel n :
.
En déduire le sens de variation de la suite (Dn), puis la limite de la suite (Dn).
Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
Les clés du sujet
▶ 1. Étudiez les variations et la limite en + ∞ de la fonction f.
▶ 2. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
▶ 3. Lisez l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 40.
▶ 1. Étudier les variations et la limite en + ∞ d’une fonction
Pour tout réel t ≥ 0, , soit .
Pour tout réel positif t, , donc . est strictement décroissante sur .
, donc par composée et opérations :
La fonction f décroît et a pour limite 25 en + ∞. Elle fournit donc un modèle en accord avec les observations.
▶ 2. Montrer qu’une équation admet une solution unique
La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; + ∞[.
De plus, .
Comme 40 ∈ ]25 ; 225], d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution dans .
▶ 3. Déterminer un antécédent par lecture graphique
à noter
T0 est l’antécédent de 40 par f.
Par lecture graphique, le point de la courbe f d’ordonnée 40 a une abscisse égale à environ 0,43.
0,43 × 60 ≈ 26. Il faut donc attendre environ 26 minutes pour que la baguette puisse être mise en rayon.
▶ 4. a) Déterminer une valeur approchée d’un terme d’une suite
, donc D0 ≈ 19,03.
19 est donc bien une valeur approchée de D0 à près.
La température de la baguette a donc diminué d’environ 19 °C pendant la première minute après sa sortie du four.
b) Étudier le sens de variation et la limite d’une suite
donc .
► Le conseil de méthode
Pour étudier le sens de variation de la suite de terme général Dn, on étudie, pour tout entier naturel n, le signe de Dn+1 – Dn.
Pour tout entier naturel n :
Donc Dn+1 - Dn < 0 pour tout entier naturel n. La suite est décroissante.
, donc par composée .
Il en découle que .
à noter
On peut aussi remarquer que (Dn) est une suite géométrique de raison .
Dans le contexte de l’exercice, ces résultats étaient prévisibles. En effet, la température de la baguette diminue de plus en plus lentement, et l’écart de température entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute devient infime au fil du temps, il tend vers 0.