Évolution du contenu de deux urnes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Évolution du contenu de deux urnes

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.

▶ 1. a) Traduire par une phrase la probabilité P(Xn=0)(Xn+1=1) puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

P(Xn=0)(Xn+1=1),P(Xn=1)(Xn+1=1)etP(Xn=2)(Xn+1=1).

b) Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction de P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :

Rn=(P(Xn=0)P(Xn=1)P(Xn=2))

et on considère M la matrice (010141214010)

On note R0 la matrice ligne (001).

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n, Rn+1 = Rn × M. Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.

▶ 3. On admet que M = P × D × P−1 avec :

P=16(231101231)D=(1200000001) et P1=(121101141).

Établir que, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P−1.

On admettra que, pour tout entier naturel n, Dn=((12)n00000001).

4. a) Calculer Dn × P−1 en fonction de n.

b) Sachant que R0P=(131216), déterminer les coefficients de Rn en fonction de n.

▶ 5. Déterminer limn+P(Xn = 0), limn+P(Xn = 1) et limn+P(Xn = 2).

Interpréter ces résultats.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Formule des probabilités totales  E37  1. b)

Raisonnement par récurrence  E1  2. et 3.

Limite d’une suite  E2c • E4d 5.

Calculs sur les matrices  C5  2.

Nos coups de pouce

 1. a) Relevez pour chaque situation proposée la répartition des boules noires et blanches dans les urnes U et V à la fin du n-ième tirage. Examinez alors les tirages à réaliser pour obtenir la situation indiquée à la fin du (n + 1)-ième tirage et déterminez les probabilités demandées.

b) Utilisez la formule des probabilités totales.

 2. et 3. Démontrez les relations proposées à l’aide de raisonnements par récurrence.

 5. Interprétez les limites obtenues en envisageant une évolution à long terme du contenu des urnes U et V.