On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.

▶ 1. a) Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=0)}(X_{n+1}=1)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

$P_{(X_n=0)}(X_{n+1}=1),P_{(X_n=1)}(X_{n+1}=1)\text{et}{P}_{(X_n=2)}(X_{n+1}=1)$.

b) Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction de P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).

▶ 2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :

$R_n=\left(P(X_n=0)P(X_n=1)P(X_n=2)\right)$

et on considère M la matrice $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

On note R0 la matrice ligne $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)$.

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n, Rn+1 = Rn × M. Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.

▶ 3. On admet que M = P × D × P−1 avec :

$P=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ -1& 0& 1\\ 2& -3& 1\end{array}\right)\text{, }D=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{ et }{P}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& 4& 1\end{array}\right)$.

Établir que, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P−1.

On admettra que, pour tout entier naturel n, $D^n=\left(\begin{array}{ccc}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

▶ 4. a) Calculer Dn × P−1 en fonction de n.

b) Sachant que $R_{0}P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$, déterminer les coefficients de Rn en fonction de n.

▶ 5. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }$P(Xn = 0), $\underset{n\to +\infty }{\lim }$P(Xn = 1) et $\underset{n\to +\infty }{\lim }$P(Xn = 2).

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