Matrices et applications
matT_1606_02_11C
Ens. de spécialité
46
Amérique du Nord • Juin 2016
Exercice 4 • 5 points
Évolution du contenu de deux urnes
On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires.
On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne.
Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l'urne U à la fin du n-ième tirage.
▶ 1. a) Traduire par une phrase la probabilité puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :
.
b) Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction de P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).
▶ 2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :
et on considère M la matrice
On note R0 la matrice ligne .
On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n, Rn+1 = Rn × M. Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.
▶ 3. On admet que M = P × D × P−1 avec :
.
Établir que, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P−1.
On admettra que, pour tout entier naturel n, .
▶ 4. a) Calculer Dn × P−1 en fonction de n.
b) Sachant que , déterminer les coefficients de Rn en fonction de n.
▶ 5. Déterminer P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).
Interpréter ces résultats.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Probabilités conditionnelles.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Formule des probabilités totales E37 → 1. b)
Raisonnement par récurrence E1 → 2. et 3.
Limite d'une suite E2c • E4d → 5.
Calculs sur les matrices C5 → 2.
Nos coups de pouce
▶ 1. a) Relevez pour chaque situation proposée la répartition des boules noires et blanches dans les urnes U et V à la fin du n-ième tirage. Examinez alors les tirages à réaliser pour obtenir la situation indiquée à la fin du (n + 1)-ième tirage et déterminez les probabilités demandées.
b) Utilisez la formule des probabilités totales.
▶ 2. et 3. Démontrez les relations proposées à l'aide de raisonnements par récurrence.
▶ 5. Interprétez les limites obtenues en envisageant une évolution à long terme du contenu des urnes U et V.
Corrigé
▶ 1. a) Déterminer des probabilités conditionnelles
est la probabilité que l'urne U contienne exactement une boule blanche après le -ième tirage sachant que celle-ci ne contenait aucune boule blanche après le -ième tirage.
Si l'événement est réalisé, les contenus des urnes à la fin du -ième tirage sont les suivants :
Urne U | Urne V | N désigne une boule noire B désigne une boule blanche |
NN | BB |
Sachant que l'événement est réalisé, pour que l'événement soit lui aussi réalisé, on doit échanger une boule noire et une boule blanche entre les urnes U et V. L'événement , sachant que l'événement est réalisé, est alors un événement certain puisque l'urne U ne contient que des boules noires et que l'urne V ne contient que des boules blanches. On a ainsi .
Si l'événement est réalisé, les contenus des urnes à la fin du -ième tirage sont les suivants :
Urne U | Urne V |
BB | NN |
Sachant que l'événement est réalisé, pour que l'événement soit lui aussi réalisé, on doit échanger une boule noire et une boule blanche entre les urnes U et V. L'événement , sachant que l'événement est réalisé, est alors un événement certain puisque l'urne U ne contient que des boules blanches et que l'urne V ne contient que des boules noires. On a ainsi .
Notons tout d'abord que .
Si l'événement est réalisé, les contenus des urnes à la fin du -ième tirage sont les suivants :
Urne U | Urne V |
NB | NB |
Sachant que l'événement est réalisé, pour que l'événement soit lui aussi réalisé, on doit échanger la boule noire de l'urne U et la boule blanche de l'urne V.
La probabilité de tirer la boule noire dans l'urne U est 0,5, celle de tirer la boule blanche dans l'urne V est 0,5. Par indépendance, la probabilité de l'événement , sachant que l'événement est réalisé, est donc .
Sachant que l'événement est réalisé, pour que l'événement soit lui aussi réalisé, on doit ici échanger la boule blanche de l'urne U et la boule noire de l'urne V.
La probabilité de tirer la boule blanche dans l'urne U est 0,5, celle de tirer la boule blanche dans l'urne V est 0,5. Comme précédemment, on obtient par indépendance : .
Finalement :
b) Déterminer une probabilité
D'après la formule des probabilités totales :
Ainsi, .
▶ 2. Déterminer une matrice et justifier une égalité matricielle
Attention !
Pensez à vérifier votre résultat avec la calculatrice. C5
Soit la propriété .
Initialisation
donc la propriété est initialisée.
Notez bien
La matrice est la matrice identité d'ordre 3 : .
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel k (hypothèse de récurrence). On démontre alors que la propriété est vérifiée.
La propriété est donc héréditaire.
Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.
▶ 3. Établir une égalité matricielle
Soit la propriété
Initialisation
donc la propriété est initialisée.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel (hypothèse de récurrence). On démontre alors que la propriété est vérifiée.
La propriété est donc héréditaire.
Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P–1.
▶ 4. a) Effectuer un calcul matriciel
b) Déterminer les coefficients d'une matrice
D'après la question 2., . Ainsi :
▶ 5. Calculer et interpréter des limites
D'après la question précédente, puisque , on peut écrire :
.
En posant , on a et .
Par conséquent, par produit et somme :
, et .
Ainsi, à long terme (si l'on considère un grand nombre de tirages) :
la probabilité que l'urne U contienne 0 boule blanche à la fin d'un tirage donné va se stabiliser à
la probabilité que l'urne U contienne 1 boule blanche à la fin d'un tirage donné va se stabiliser à
la probabilité que l'urne U contienne 2 boules blanches à la fin d'un tirage donné va se stabiliser à .