Matrices et applications
matT_1606_02_11C
Ens. de spécialité
46
Amérique du Nord • Juin 2016
Exercice 4 • 5 points
Évolution du contenu de deux urnes
On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.
On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.
Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.
▶ 1. a) Traduire par une phrase la probabilité puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :
.
b) Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction de P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).
▶ 2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :
et on considère M la matrice
On note R0 la matrice ligne .
On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n, Rn+1 = Rn × M. Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.
▶ 3. On admet que M = P × D × P−1 avec :
.
Établir que, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P−1.
On admettra que, pour tout entier naturel n, .
▶ 4. a) Calculer Dn × P−1 en fonction de n.
b) Sachant que , déterminer les coefficients de Rn en fonction de n.
▶ 5. Déterminer P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).
Interpréter ces résultats.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Probabilités conditionnelles.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Formule des probabilités totales E37 → 1. b)
Raisonnement par récurrence E1 → 2. et 3.
Limite d’une suite E2c • E4d → 5.
Calculs sur les matrices C5 → 2.
Nos coups de pouce
▶ 1. a) Relevez pour chaque situation proposée la répartition des boules noires et blanches dans les urnes U et V à la fin du n-ième tirage. Examinez alors les tirages à réaliser pour obtenir la situation indiquée à la fin du (n + 1)-ième tirage et déterminez les probabilités demandées.
b) Utilisez la formule des probabilités totales.
▶ 2. et 3. Démontrez les relations proposées à l’aide de raisonnements par récurrence.
▶ 5. Interprétez les limites obtenues en envisageant une évolution à long terme du contenu des urnes U et V.