Annale corrigée Exercice Ancien programme

Évolution du nombre d'abonnés à un service de livraison de repas à domicile

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 4 • 6 points • 55 min

Évolution du nombre d'abonnés à un service de livraison de repas à domicile

Les thèmes clés

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

 

Une association confectionne et porte chaque jour à domicile des repas à des personnes dépendantes.

En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l'évolution peut être modélisée de la façon suivante :

chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés 

chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.

1. Pour suivre l'évolution du nombre d'abonnés, un gestionnaire réalise l'algorithme suivant :

013_matT_1609_04_03C_algo_001

a) Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l'unité). (1 point)

Valeur de U

600

Valeur de n

0

Test U  800

vrai

b) Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution de l'algorithme. (0,75 point)

c) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

2. Cette évolution peut s'étudier à l'aide d'une suite (un), où un est le nombre d'abonnés pendant l'année 2015 + n.

On a ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,95 un + 80 et u0 = 600.

a) Donner u1 et u2 (arrondir les valeurs à l'unité). (0,5 point)

b) On introduit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 1 600.

Montrer que (vn) est une suite géométrique. (0,75 point)

Préciser la raison et le premier terme de cette suite. (0,5 point)

c) En déduire que l'on a, pour tout entier naturel n :

un=16001000×0,95n (1 point)

3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.

Si cette évolution se poursuit au même rythme, l'association devra-t-elle envisager un jour des travaux d'agrandissement ? (1 point)

Les clés du sujet

2. b) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

c) Déterminez dans un premier temps l'expression de vn en fonction de n.

3. Traduisez le problème par une inéquation et résolvez cette inéquation en utilisant la fonction ln et ses propriétés.

Corrigé

1. a) Compléter un tableau d'étapes résumant le fonctionnement d'un algorithme

Valeur de U

600

650

698

743

785

826

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

Test U  800

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

b) Déterminer la valeur affichée en fin d'exécution d'un algorithme

5 est l'indice du premier terme de la suite supérieur à 800.

En effet, u4 785  800 et u5 826 > 800.

D'après la question précédente, la valeur affichée à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent est 5.

c) Interpréter concrètement un terme d'une suite

Le résultat précédent signifie que c'est au bout de cinq ans, c'est-à-dire en 2020, que le nombre d'abonnés dépassera pour la première fois 800.

2. a) Calculer deux termes d'une suite

u1 = 0,95 × u0 + 80 = 0,95 × 600 + 80

u1=650

u2 = 0,95 × u1 + 50

u2698

b) Montrer qu'une suite est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 1 600

vn+1 = 0,95 un + 80 - 1 600

vn+1 = 0,95 un - 1 520

vn+1=0,95 (vn+1600)1520

vn+1 = 0,95 vn + 0,95 × 1 600 - 1 520

vn+1 = 0,95 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,95.

v0 = u0 - 1 600

v0 = - 1 000.

Le premier terme de la suite (vn) est v0=1000.

c) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

Pour tout entier naturel n :

vn=1000×0,95n

un=16001000×0,95n

3. Déterminer si un terme d'une suite dépassera une valeur donnée

On cherche à savoir s'il existe un entier naturel n tel que un > 1 000.

Cette inégalité équivaut successivement à :

16001000×0,95n>1000

1000×0,95n600

0,95n0,6

nln0,95ln0,6

n>ln0,6ln0,95.

notez bien

On utilise le fait que la fonction ln est strictement croissante sur ]0   +[ (elle « conserve » l'ordre et que ln0,950.

Or, ln0,6ln0,959,96. 

Donc un > 1 000 équivaut à n  10.

Si l'évolution se poursuit au même rythme, l'association servira plus de 1 000 repas, donc devra envisager des travaux d'agrandissement, au bout de dix ans, c'est-à-dire en 2025.

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