Évolution du nombre d’abonnés à un service de livraison de repas à domicile

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 4 • 6 points • 55 min

Évolution du nombre d’abonnés à un service de livraison de repas à domicile

Les thèmes clés

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

 

Une association confectionne et porte chaque jour à domicile des repas à des personnes dépendantes.

En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.

Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évolution peut être modélisée de la façon suivante :

chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés ;

chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.

1. Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algorithme suivant :

013_matT_1609_04_03C_algo_001

a) Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité). (1 point)

Valeur de U

600

Valeur de n

0

Test U < 800

vrai

b) Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme. (0,75 point)

c) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

2. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite (un), où un est le nombre d’abonnés pendant l’année 2015 + n.

On a ainsi, pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,95 un + 80 et u0 = 600.

a) Donner u1 et u2 (arrondir les valeurs à l’unité). (0,5 point)

b) On introduit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

vn = un - 1 600.

Montrer que (vn) est une suite géométrique. (0,75 point)

Préciser la raison et le premier terme de cette suite. (0,5 point)

c) En déduire que l’on a, pour tout entier naturel n :

un=16001000×0,95n (1 point)

3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.

Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle envisager un jour des travaux d’agrandissement ? (1 point)

Les clés du sujet

2. b) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

c) Déterminez dans un premier temps l’expression de vn en fonction de n.

3. Traduisez le problème par une inéquation et résolvez cette inéquation en utilisant la fonction ln et ses propriétés.