Évolution du nombre d’adhérents d’un club

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
Corpus Corpus 1
Évolution du nombre d’adhérents d’un club

Suites numériques

matT_1309_04_07C

Ens. spécifique

12

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 3 • 5 points

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes, on a constaté que :

  • 10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
  • 20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

Partie A

On donne l’algorithme suivant :


Entrée :

Traitement :

Sortie :


Saisir n entier positif


X prend la valeur 80 (initialisation)

Pour i allant de 1 à n

 Affecter à X la valeur 0,9 X + 20

Fin pour

X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur


Afficher X

>1. Pour la valeur saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? (1 point)

>2. Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme. (0,5 point)

Partie B

>1. On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel n :

.

Pour tout entier naturel n, on pose :

a) Démontrer que est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,5 point)

>2. En déduire que, pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

>3. Quelle est la limite de la suite  ? (0,5 point)

Partie C

>1. L’objectif du président du club est d’atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ? (0,5 point)

>2. Même question si l’objectif du président du club est d’atteindre au moins 300 adhérents. (0,5 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

Partie B

>3. Utilisez le résultat suivant : « Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0. »

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Déterminer le résultat obtenu en sortie d’un algorithme

Si on saisit la valeur , alors la boucle « Pour » est effectuée deux fois :

  • la première fois, , qui valait initialement 80, prend la valeur :

= 92 ;

  • la deuxième fois, prend la valeur :

= 102,8.

La valeur de est ensuite arrondie à l’entier inférieur et affichée.

Le nombre affiché à la sortie de l’algorithme si on saisitest donc 102.

>2. Interpréter le nombre affiché en sortie d’un algorithme

L’instruction « Affecter à X la valeur 0,9 X + 20 » correspond à l’évolution, d’une année à la suivante, du nombre d’adhérents du club de randonnée : 90 % des adhérents se réinscrivent, auxquels s’ajoutent 20 nouveaux adhérents.

La valeur 102 obtenue représente donc le nombre d’adhérents du club au bout de 2 ans, c’est-à-dire en 2007.

Partie B

>1.a) Démontrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :  ;

donc .

Doncest une suite géométrique de raison 0,9.

Son premier terme est

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel  :

>2. Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

>3. Déterminer la limite d’une suite numérique

, donc et :

Partie C

>1. Déterminer le rang à partir duquel les termes d’une suite sont supérieurs ou égaux à un nombre donné

Pour savoir si l’objectif « atteindre au moins 180 adhérents » est réalisable, on résout l’inéquation .

Cette inéquation équivaut successivement à :

Attention !

On divise par ln 0,9.

Or , donc et l’inégalité change de sens.

.

Or et est entier, donc équivaut à .

Donc l’objectif du président est réalisable et, si l’évolution se poursuit de la même manière, au bout de 18 années, le nombre d’adhérents sera supérieur ou égal à 180.

Vérification :  ;

>2. Montrer que tous les termes d’une suite sont inférieurs à un nombre donné

Pour tout entier naturel, , donc

Donc, l’objectif du président du club d’atteindre au moins 300 adhérents n’est pas réalisable.