Évolution du nombre d’adhérents à une association

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Évolution du nombre d’adhérents à une association

Les thèmes clés

Suite géométrique • Boucle « Pour ».

 

Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

25 % des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion ;

12 nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

partie a

On modélise le nombre d’adhérents de l’association par la suite (un) telle que u0 = 900 et, pour tout entier naturel n :

un+1 = 0,75 un + 12.

Le terme un donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l’association au bout de n mois.

1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1er mars 2017. (0,5 point)

2. On définit la suite (vn) par vn = un - 48 pour tout entier naturel n.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. (1 point)

b) Préciser v0 et exprimer vn en fonction de n. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel :

un= 852×0,75n+48. (0,5 point)

3. La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l’hypothèse que l’évolution du nombre d’adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ? (1 point)

partie b

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l’association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.

Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017. (0,75 point)

008_matT_1706_07_02C_algo_001

2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ? (0,75 point)

Les clés du sujet

Partie A

3. Traduisez la question par une inéquation et résolvez cette inéquation.

Partie B

1. et 2. Le montant total des cotisations perçues un mois donné est égal à 10 euros multiplié par le nombre d’adhérents le mois considéré ; le nombre d’adhérents est donné par un terme de la suite (un). N’oubliez pas, pour obtenir le montant total pour l’année 2017, d’additionner les montants correspondant aux différents mois.