Évolution du nombre d’étudiants dans une université

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Évolution du nombre d’étudiants dans une université

Les thèmes clés

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

 

Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016. Le président de l’université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

150 étudiants démissionnent en cours d’année universitaire (entre le 1er septembre et le 30 juin) ;

les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016 + n.

On a donc u0 = 27 500.

1. a) Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017. (0,25 point)

b) Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septembre 2017. (0,25 point)

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,04 un - 156. (0,75 point)

3. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l’algorithme suivant afin qu’il donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement. (1 point)

009_matT_1706_02_02C_algo_001

4. a) On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.

Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l’unité. (1 point)

Initialisation

Étape 1

Valeur de n

0

……

Valeur de U

27 500

……

b) Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme. (0,25 point)

5. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.

Pour cela, on note (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un - 3 900.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

un=23 600×1,04n+3900. (0,5 point)

c) Déterminer la limite de la suite (un) et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

Les clés du sujet

2. Soyez attentif aux dates : à chaque rentrée, l’effectif augmente de 4 % par rapport à celui du mois de juin qui précède, donc en tenant compte des étudiants qui ont démissionné en cours d’année.

3. N’oubliez pas que l’algorithme doit donner l’année à partir de laquelle l’effectif dépassera la capacité d’accueil.

5. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

b) Déterminez dans un premier temps l’expression de vn en fonction de n.