Annale corrigée Exercice Ancien programme

Évolution du nombre d'étudiants dans une université

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Évolution du nombre d'étudiants dans une université

Les thèmes clés

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

 

Une grande université, en pleine croissance d'effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016. Le président de l'université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d'élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

150 étudiants démissionnent en cours d'année universitaire (entre le 1er septembre et le 30 juin) 

les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d'étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016 + n.

On a donc u0 = 27 500.

1. a) Estimer le nombre d'étudiants en juin 2017. (0,25 point)

b) Estimer le nombre d'étudiants à la rentrée de septembre 2017. (0,25 point)

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,04 un - 156. (0,75 point)

3. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l'algorithme suivant afin qu'il donne l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l'établissement. (1 point)

009_matT_1706_02_02C_algo_001

4. a) On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.

Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes  on arrondira les valeurs de U à l'unité. (1 point)

Initialisation

Étape 1

Valeur de n

0

……

Valeur de U

27 500

……

b) Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme. (0,25 point)

5. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.

Pour cela, on note (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un - 3 900.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

un=23 600×1,04n+3900. (0,5 point)

c) Déterminer la limite de la suite (un) et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

Les clés du sujet

2. Soyez attentif aux dates : à chaque rentrée, l'effectif augmente de 4 % par rapport à celui du mois de juin qui précède, donc en tenant compte des étudiants qui ont démissionné en cours d'année.

3. N'oubliez pas que l'algorithme doit donner l'année à partir de laquelle l'effectif dépassera la capacité d'accueil.

5. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

b) Déterminez dans un premier temps l'expression de vn en fonction de n.

Corrigé

1. a) Estimer un effectif

Puisque 27 500 étudiants étaient inscrits à l'université à la rentrée 2016 et que l'on estime que 150 d'entre eux démissionnent au cours de l'année 2016-2017, le nombre d'étudiants en juin 2017 peut être estimé à 27500150, soit 27 350 étudiants.

b) Calculer un terme d'une suite

notez bien

L'effectif à la rentrée de septembre 2017 est u1 car 2017 = 2016 + 1.

L'effectif augmente de 4 % en septembre 2017 par rapport à celui de juin 2017.

Donc u1 = 27 350 × 1,04.

En septembre 2017, l'effectif peut être estimé à 28 444 étudiants.

2. Déterminer une relation entre deux termes successifs d'une suite

Soit n un entier naturel. Le nombre d'étudiants estimé à la rentrée de septembre 2016 + n est un.

Puisque 150 étudiants démissionnent en cours d'année, le nombre d'étudiants au mois de juin suivant est un - 150.

De juin à septembre, l'effectif augmente de 4 %, donc :

un+1 = 1,04 (un - 150)

un+1 = 1,04 un - 1,04 × 150

un+1=1,04 un156

3. Compléter un algorithme

Pour que l'algorithme donne l'année à partir de laquelle le nombre d'étudiants à accueillir dépassera 33 000, il doit être complété de la manière suivante :

009_matT_1706_02_02C_algo_002

4. a) Compléter un tableau d'étapes

En faisant fonctionner l'algorithme en mode pas à pas et en arrondissant à l'unité les valeurs successives de U, on obtient le tableau suivant :

 

Initialisation

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Étape 4

Étape 5

Étape 6

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

6

Valeur de U

27 500

28 444

29 426

30 447

31 509

32 613

33 762

b) Donner la valeur affichée en sortie d'un algorithme

D'après la question précédente, c'est au bout de 6 ans, c'est-à-dire en 2022, que le nombre d'étudiants à accueillir dépassera la capacité de l'université.

En sortie, l'algorithme affiche 2022.

5. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1= un+13900vn+1=1,04 un1563900vn+1=1,04 un4056vn+1=1,04 (vn+3900)4056vn+1=1,04 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,04. Son premier terme est v0=u03900=23600.

b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

Puisque (vn) est une suite géométrique, pour tout entier naturel n :

vn=23600×1,04n.

un = vn + 3 900, donc, pour tout entier naturel :

un=23600× 1,04n+3900

c) Déterminer et interpréter la limite d'une suite

1,04 > 1, donc :

limn+1,04n=+

limn+un=+

À long terme, le nombre d'étudiants à accueillir devrait dépasser toute capacité d'accueil fixée.

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