Évolution du nombre d’inscrits à une médiathèque, modélisation par une suite numérique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Évolution du nombre d’inscrits à une médiathèque, modélisation par une suite numérique

Suites numériques

matT_1405_09_07C

Ens. spécifique

10

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 3 • 5 points

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2 500 inscriptions en 2013.

Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.

On modélise cette situation par une suite numérique .

On note le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et représente le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 +n.

>1. a) Calculer et . (0,5 point)

b) Justifier que, pour tout entier naturel , on a la relation :

. (0,75 point)

>2. On pose, pour tout entier naturel , .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de premier terme et de raison . (0,75 point)

b) En déduire que le terme général de la suite est :

. (0,5 point)

c) Calculer la limite de la suite . (0,5 point)

d) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma d’inscription reste le même au cours des années à venir ? (0,75 point)

>3. On propose l’algorithme suivant :


Variables :

Initialisation :

Traitement :

Sortie :


N entier

A réel

N prend la valeur 0

A prend la valeur 2 500

Tant que A– 2 000 > 50

A prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Afficher N

a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

>1. b) Tenez compte des anciens inscrits qui renouvellent leur inscription et des nouveaux adhérents.

>2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

Corrigé
Corrigé

>1. a) Calculer le nombre d’inscrits à une médiathèque un an et deux ans après son ouverture

Puisque chaque année, 80 % des inscrits renouvellent leur inscription et qu’il y a 400 nouveaux adhérents :

.

Si l’estimation du nombre d’inscrits est correcte, il y aura 2 400 inscrits en 2014 et 2 320 inscrits en 2015.

b) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

En généralisant le raisonnement de la question précédente, on peut écrire que, pour tout entier naturel  :

>2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

.

Donc .

Or , donc , donc :

.

est donc une suite géométrique de raison 0,8 ;

son premier terme est :

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après la question précédente, pour tout entier naturel  :

.

Donc :

c) Calculer la limite d’une suite associée à une suite géométrique

car est une suite géométrique de raison 0,8 et . De plus, an=vn+ 2 000, donc :

d) Interpréter concrètement la limite d’une suite

On en déduit que, si le « schéma d’inscription » (c’est-à-dire l’évolution du nombre d’inscrits d’une année à la suivante) reste le même au cours des années à venir, la médiathèque aura un nombre d’inscrits proche de 2 000 au bout d’un grand nombre d’années.

>3. a) Expliquer le résultat fourni par un algorithme donné

Notez bien

On peut vérifier ce résultat en programmant sur la calculatrice le calcul des premiers termes de la suite . On obtient et .

L’algorithme donné permet de déterminer le nombre d’années écoulées de 2013 à la première année où le nombre d’inscrits est inférieur à 2 050.

b) Déterminer à l’aide de la calculatrice le résultat obtenu grâce à un algorithme

En programmant la calculatrice, on obtient à l’affichage .

Si l’évolution se poursuit de la même manière, le nombre d’inscrits devient pour la première fois inférieur à 2 050 en 2024.