Évolution du nombre d’inscrits à une médiathèque, modélisation par une suite numérique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Évolution du nombre d’inscrits à  une  médiathèque, modélisation par  une suite numérique

Suites numériques

matT_1405_09_07C

Ens. spécifique

10

CORRIGE

Liban  • Mai 2014

Exercice 3 • 5 points

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2  janvier 2013 et  a enregistré 2  500 inscriptions en 2013.

Elle estime que, chaque année, 80  % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.

On modélise cette situation par une suite numérique .

On note le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et représente le nombre d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 +n.

>1. a) Calculer et . (0,5 point)

b) Justifier que, pour tout entier naturel , on a la relation  :

. (0,75 point)

>2. On pose, pour tout entier naturel , .

a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de premier terme et de raison . (0,75 point)

b) En déduire que le terme général de la suite est  :

. (0,5 point)

c) Calculer la limite de la suite . (0,5 point)

d) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma d’inscription reste le même au cours des années à venir  ? (0,75 point)

>3. On propose l’algorithme suivant  :


Variables  :

Initialisation  :

Traitement  :

Sortie  :


N entier

A réel

N prend la valeur 0

A prend la valeur 2  500

Tant que A– 2  000 > 50

A prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Afficher N

a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel «  Tant que  ».

Les conseils du correcteur

>1. b) Tenez compte des anciens inscrits qui renouvellent leur inscription et des nouveaux adhérents.

>2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

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