Évolution du nombre d’inscrits à une médiathèque, modélisation par une suite numérique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
&Eacute volution du nombre d&rsquo inscrits &agrave   une  m&eacute diath&egrave que, mod&eacute lisation par  une suite num&eacute rique

Suites num&eacute riques

matT_1405_09_07C

Ens. sp&eacute cifique

10

CORRIGE

Liban  &bull Mai 2014

Exercice 3 &bull 5 points

La m&eacute diath&egrave que d&rsquo une petite ville a ouvert ses portes le 2  janvier 2013 et  a enregistr&eacute 2  500 inscriptions en 2013.

Elle estime que, chaque ann&eacute e, 80  % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l&rsquo ann&eacute e suivante et qu&rsquo il y aura 400 nouveaux adh&eacute rents.

On mod&eacute lise cette situation par une suite num&eacute rique .

On note le nombre d&rsquo inscrits &agrave la m&eacute diath&egrave que en 2013 et repr&eacute sente le nombre d&rsquo inscrits &agrave la m&eacute diath&egrave que pendant l&rsquo ann&eacute e 2013 +n.

&gt 1. a) Calculer et . (0,5 point)

b) Justifier que, pour tout entier naturel , on a la relation  :

. (0,75 point)

&gt 2. On pose, pour tout entier naturel , .

a) D&eacute montrer que la suite est une suite g&eacute om&eacute trique de premier terme et de raison . (0,75 point)

b) En d&eacute duire que le terme g&eacute n&eacute ral de la suite est  :

. (0,5 point)

c) Calculer la limite de la suite . (0,5 point)

d) Que peut-on en d&eacute duire pour le nombre d&rsquo adh&eacute rents &agrave la m&eacute diath&egrave que si le sch&eacute ma d&rsquo inscription reste le m&ecirc me au cours des ann&eacute es &agrave venir  ? (0,75 point)

&gt 3. On propose l&rsquo algorithme suivant  :


Variables  :

Initialisation  :

Traitement  :

Sortie  :


N entier

A r&eacute el

N prend la valeur 0

A prend la valeur 2  500

Tant que A&ndash 2  000 &gt 50

A prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Afficher N

a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

b) &Agrave l&rsquo aide de la calculatrice, d&eacute terminer le r&eacute sultat obtenu gr&acirc ce &agrave cet algorithme et interpr&eacute ter la r&eacute ponse dans le contexte de l&rsquo exercice. (0,75 point)

Les cl&eacute s du sujet

Les th&egrave mes en jeu

Suite g&eacute om&eacute trique &bull Boucle avec arr&ecirc t conditionnel &laquo   Tant que  &raquo .

Les conseils du correcteur

&gt 1. b) Tenez compte des anciens inscrits qui renouvellent leur inscription et des nouveaux adh&eacute rents.

&gt 2. b) Utilisez la formule du cours donnant l&rsquo expression du terme g&eacute n&eacute ral d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique.