Évolution du nombre de colonies d'abeilles d'un apiculteur

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 2 • 5 points

Évolution du nombre de colonies d’abeilles d’un apiculteur

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

▶ 1. On considère l’algorithme suivant :

Variables :

4555019-Eqn3 est un nombre entier naturel

4555019-Eqn4 est un nombre réel

Traitement :

Affecter à 4555019-Eqn5 la valeur 300

Affecter à 4555019-Eqn6 la valeur 0

Tant que 4555019-Eqn7 faire

 

4555019-Eqn8 prend la valeur 4555019-Eqn9

4555019-Eqn10 prend la valeur 4555019-Eqn11

Fin Tant que

Sortie :

Afficher 4555019-Eqn12

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche. (1 point)

Test 4555019-Eqn13

×××

vrai

 

Valeur de 4555019-Eqn14

300

326

 

Valeur de 4555019-Eqn15

0

1

 

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. (0,75 point)

▶ 2. On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite 4555019-Eqn16, le terme 4555019-Eqn17 donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année 4555019-Eqn18.

Ainsi, 4555019-Eqn19 est le nombre de colonies en 2014.

a) Exprimer pour tout entier 4555019-Eqn20 le terme 4555019-Eqn21 en fonction de 4555019-Eqn22. (0,5 point)

b) On considère la suite 4555019-Eqn23 définie pour tout entier 4555019-Eqn24 par 4555019-Eqn25.

Montrer que pour tout nombre entier 4555019-Eqn26 on a 4555019-Eqn27. (0,75 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel 4555019-Eqn28, on a :

4555019-Eqn29. (0,5 point)

d) Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? (0,5 point)

▶ 3. L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a) Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ? (0,5 point)

b) Donner une réponse à cette question de l’apiculteur. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

> 2. c) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. a) Donner les étapes de l’exécution d’un algorithme

Tableau d’étapes (résultats arrondis à l’entier le plus proche) :

Test 4555019-Eqn108

×××

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

Valeur de 4555019-Eqn109

300

326

350

372

392

411

 

Valeur de 4555019-Eqn110

0

1

2

3

4

5

 

On sort de la boucle « Tant que » dès que la valeur de 4555019-Eqn111 atteint ou dépasse 400.

b) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée à la fin de l’exécution de l’algorithme (dernière valeur de 4555019-Eqn112) est 5.

Donc, c’est après 5 ans (c’est-à-dire en 2019) que le nombre de colonies dépassera pour la première fois 400.

▶ 2. a) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Notez bien

0,92 est le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 8 %.

Le nombre de colonies l’année 4555019-Eqn113 est égal au nombre de colonies présentes l’année 4555019-Eqn114 moins 8 % de ce nombre, et on ajoute les 50 nouvelles colonies installées par l’apiculteur.

Donc, pour tout entier naturel 4555019-Eqn115 :

4555019-Eqn116

4555019-Eqn117

b) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d’une autre suite

Pour tout entier naturel 4555019-Eqn118 :

4555019-Eqn119

4555019-Eqn120

4555019-Eqn121

4555019-Eqn122

4555019-Eqn123

4555019-Eqn124

c) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

D’après la question précédente, la suite 4555019-Eqn125 est une suite géométrique de raison 0,92. Son premier terme est 4555019-Eqn127.

4555019-Eqn128 est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme 4555019-Eqn130, donc pour tout entier naturel 4555019-Eqn131:

4555019-Eqn132et 4555019-Eqn133.

d) Calculer le nombre de colonies que l’apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024

4555019-Eqn134, donc le nombre de colonies que l’apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024 est :

4555019-Eqn135.

Si l’évolution du nombre de colonies d’abeilles se poursuit de la même manière, l’apiculteur peut espérer posséder 484 colonies en juillet 2024.

▶ 3. a) Modifier un algorithme

Si l’apiculteur double son nombre initial de colonies, c’est que le nombre de colonies atteint ou dépasse 600. Pour que l’algorithme donne une réponse à cette question, le calcul des termes successifs de la suite doit se poursuivre jusqu’à obtenir un terme supérieur ou égal à 600, donc on doit remplacer l’instruction « Tant que 4555019-Eqn136 » par « Tant que 4555019-Eqn137 ».

b) Déterminer l’indice du premier terme d’une suite supérieur ou égal à un nombre donné

Pour donner une réponse à la question de l’apiculteur, c’est-à-dire pour déterminer le plus petit entier naturel 4555019-Eqn138 tel que 4555019-Eqn139, il existe plusieurs méthodes :

On peut programmer l’algorithme après l’avoir modifié comme indiqué à la question précédente, et le « faire tourner » sur la calculatrice ; la valeur affichée en sortie est 31.

On peut à l’aide de la calculatrice construire un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite 4555019-Eqn140 ; le premier terme qui dépasse 600 est 4555019-Eqn141. En effet, à 4555019-Eqn142 près :

4555019-Eqn143 et 4555019-Eqn144.

On peut résoudre une inéquation en utilisant la fonction ln :

4555019-Eqn145.

4555019-Eqn146, donc, la fonction ln étant croissante sur 4555019-Eqn147 :

4555019-Eqn148.

4555019-Eqn149

car 4555019-Eqn150 et 4555019-Eqn151 est entier.

Quelle que soit la méthode, on montre que, si l’évolution du nombre de colonies d’abeilles se poursuit de la même manière, l’apiculteur devra attendre 31 ans pour doubler son nombre de colonies. Cet objectif sera donc atteint en 2045.