Évolution du nombre de colonies d'abeilles d'un apiculteur

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 2 • 5 points

Évolution du nombre de colonies d’abeilles d’un apiculteur

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

▶ 1. On considère l’algorithme suivant :

Variables :

4555019-Eqn3 est un nombre entier naturel

4555019-Eqn4 est un nombre réel

Traitement :

Affecter à 4555019-Eqn5 la valeur 300

Affecter à 4555019-Eqn6 la valeur 0

Tant que 4555019-Eqn7 faire

 

4555019-Eqn8 prend la valeur 4555019-Eqn9

4555019-Eqn10 prend la valeur 4555019-Eqn11

Fin Tant que

Sortie :

Afficher 4555019-Eqn12

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche. (1 point)

Test 4555019-Eqn13

×××

vrai

 

Valeur de 4555019-Eqn14

300

326

 

Valeur de 4555019-Eqn15

0

1

 

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. (0,75 point)

▶ 2. On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite 4555019-Eqn16, le terme 4555019-Eqn17 donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année 4555019-Eqn18.

Ainsi, 4555019-Eqn19 est le nombre de colonies en 2014.

a) Exprimer pour tout entier 4555019-Eqn20 le terme 4555019-Eqn21 en fonction de 4555019-Eqn22. (0,5 point)

b) On considère la suite 4555019-Eqn23 définie pour tout entier 4555019-Eqn24 par 4555019-Eqn25.

Montrer que pour tout nombre entier 4555019-Eqn26 on a 4555019-Eqn27. (0,75 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel 4555019-Eqn28, on a :

4555019-Eqn29. (0,5 point)

d) Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? (0,5 point)

▶ 3. L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a) Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ? (0,5 point)

b) Donner une réponse à cette question de l’apiculteur. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

> 2. c) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.