Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8 % des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.

▶ 1. On considère l’algorithme suivant :

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche. (1 point)

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. (0,75 point)

▶ 2. On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite , le terme donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année .

Ainsi, est le nombre de colonies en 2014.

a) Exprimer pour tout entier le terme en fonction de . (0,5 point)

b) On considère la suite définie pour tout entier par .

Montrer que pour tout nombre entier on a . (0,75 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

d) Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? (0,5 point)

▶ 3. L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

a) Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ? (0,5 point)

b) Donner une réponse à cette question de l’apiculteur. (0,5 point)