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Pondichéry • Avril 2015
Exercice 2 • 5 points
Évolution du nombre de colonies d'abeilles d'un apiculteur
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région.
Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer 50 nouvelles colonies chaque printemps.
▶ 1. On considère l'algorithme suivant :
| Variables : |
| |
| Traitement : | Affecter à Affecter à Tant que | |
|
| ||
| Fin Tant que | ||
| Sortie : | Afficher | |
est un nombre entier naturel
est un nombre réel
la valeur 300
la valeur 0
faire
prend la valeur 
prend la valeur 
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche. (1 point)
| Test | ××× | vrai | … | |
| Valeur de | 300 | 326 | … | |
| Valeur de | 0 | 1 | … |
b) Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème. (0,75 point)
▶ 2. On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite 
, le terme 
donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année 
.
Ainsi, 
est le nombre de colonies en 2014.
a) Exprimer pour tout entier 
le terme 
en fonction de 
. (0,5 point)
b) On considère la suite 
définie pour tout entier 
par 
.
Montrer que pour tout nombre entier 
on a 
. (0,75 point)
c) En déduire que pour tout entier naturel 
, on a :
. (0,5 point)
d) Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ? (0,5 point)
▶ 3. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
a) Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ? (0,5 point)
b) Donner une réponse à cette question de l'apiculteur. (0,5 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.
Les conseils du correcteur
> 2. c) Utilisez le résultat du cours donnant l'expression du terme général d'une suite géométrique.
Corrigé
▶ 1. a) Donner les étapes de l'exécution d'un algorithme
Tableau d'étapes (résultats arrondis à l'entier le plus proche) :
| Test | ××× | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | faux |
| Valeur de | 300 | 326 | 350 | 372 | 392 | 411 | |
| Valeur de | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
On sort de la boucle « Tant que » dès que la valeur de 
atteint ou dépasse 400.
b) Donner la valeur affichée en sortie d'un algorithme
D'après la question précédente, la valeur affichée à la fin de l'exécution de l'algorithme (dernière valeur de 
) est 5.
Donc, c'est après 5 ans (c'est-à-dire en 2019) que le nombre de colonies dépassera pour la première fois 400.
▶ 2. a) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite
Notez bien
0,92 est le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 8 %.
Le nombre de colonies l'année 
est égal au nombre de colonies présentes l'année 
moins 8 % de ce nombre, et on ajoute les 50 nouvelles colonies installées par l'apiculteur.
Donc, pour tout entier naturel 
:
b) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une autre suite
Pour tout entier naturel 
:
c) Déterminer l'expression du terme général d'une suite
D'après la question précédente, la suite 
est une suite géométrique de raison 0,92. Son premier terme est 
.
est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme 
, donc pour tout entier naturel 
:
et 
.
d) Calculer le nombre de colonies que l'apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024
, donc le nombre de colonies que l'apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024 est :
.
Si l'évolution du nombre de colonies d'abeilles se poursuit de la même manière, l'apiculteur peut espérer posséder 484 colonies en juillet 2024.
▶ 3. a) Modifier un algorithme
Si l'apiculteur double son nombre initial de colonies, c'est que le nombre de colonies atteint ou dépasse 600. Pour que l'algorithme donne une réponse à cette question, le calcul des termes successifs de la suite doit se poursuivre jusqu'à obtenir un terme supérieur ou égal à 600, donc on doit remplacer l'instruction « Tant que 
» par « Tant que 
».
b) Déterminer l'indice du premier terme d'une suite supérieur ou égal à un nombre donné
Pour donner une réponse à la question de l'apiculteur, c'est-à-dire pour déterminer le plus petit entier naturel 
tel que 
, il existe plusieurs méthodes :
On peut programmer l'algorithme après l'avoir modifié comme indiqué à la question précédente, et le « faire tourner » sur la calculatrice la valeur affichée en sortie est 31.
On peut à l'aide de la calculatrice construire un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite 
le premier terme qui dépasse 600 est 
. En effet, à 
près :
et 
.
On peut résoudre une inéquation en utilisant la fonction ln :
.
, donc, la fonction ln étant croissante sur 
:
.
car 
et 
est entier.
Quelle que soit la méthode, on montre que, si l'évolution du nombre de colonies d'abeilles se poursuit de la même manière, l'apiculteur devra attendre 31 ans pour doubler son nombre de colonies. Cet objectif sera donc atteint en 2045.