Évolution du parc automobile d’un loueur de voitures

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 2 • 5 points

Évolution du parc automobile d’un loueur de voitures

Un loueur de voitures dispose au 1er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pour l’Europe.

Afin d’entretenir son parc automobile, il décide de revendre, au 1er mars de chaque année, 25 % de son parc et d’acheter 3 000 voitures neuves.

On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars de l’année 2015+n.

On a donc u0=10000.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n :

un+1=0,75 un+3000. (0,5 point)

2. Pour tout entier naturel n, on considère la suite (vn) définie par :

vn=un12000.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser le premier terme. (1 point)

b) Exprimer vn en fonction de n. (0,5 point)

Déterminer la limite de la suite (vn). (0,5 point)

c) Justifier que, pour tout entier naturel n, un=120002000×0,75n. (0,5 point)

d) En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’années ? (0,5 point)

3. On admet dans cette question que la suite (un) est croissante.

On aimerait déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures.

a) Recopier l’algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu’il permette de répondre au problème posé. (0,5 point)

Initialisation

U prend la valeur 10 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que ………….

N prend la valeur ………….

U prend la valeur ………….

Fin Tant que

Sortie

Afficher ………….

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année recherchée. (0,5 point)

c) Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation :

120002000×0,75n11950. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) Si vn=un12000, alors un=vn+12000.

d) Le nombre de voitures possédées par le loueur au bout d’un grand nombre d’années est proche de la limite de la suite (un).

3. b) Programmez l’algorithme ou construisez un tableau donnant une valeur approchée des termes de la suite (un).

c) Utilisez la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Corrigé

1. Justifier une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel n :

un+1=un25 un100+3000

un+1=0,75 un+3000.

2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1=un+112000=0,75 un+300012000

vn+1=0,75 un9000=0,75 (vn+12000)9000

vn+1=0,75 vn.

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 0,75.

v0=u012000=1000012000=2000.

Le premier terme de la suite (vn) est v0=2000.

b) Donner l’expression du terme général et la limite d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel n :

vn=2000×0,75n.

(vn) est une suite géométrique de raison 0,75 et 0<0,75<1, donc :

limn+vn=0.

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

vn=un12000, donc un=vn+12000, donc :

un=120002000×0,75n.

d) Donner une interprétation de la limite d’une suite

D’après les questions précédentes :

limn+un=12000.

On peut conjecturer qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre de voitures du loueur sera voisin de 12 000 voitures.

3. a) Compléter un algorithme

Notez bien

La suite (un) a pour limite 12 000, donc pour n suffisamment grand, un est supérieur ou égal à 11 950.

Pour que l’algorithme donné permette de déterminer l’année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins 11 950 voitures, on peut le compléter de la manière suivante :

Notez bien

La dernière instruction de l’algorithme peut aussi être Afficher N. Dans ce cas, pour obtenir l’année cherchée, il faut ajouter 2015.

Initialisation

U prend la valeur 10 000

N prend la valeur 0

Traitement

Tant que U < 11 950

   

N prend la valeur N + 1

U prend la valeur 0,75 U + 300

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher 2015 + N

b) Déterminer à l’aide de la calculatrice le rang d’un terme d’une suite vérifiant une condition donnée

On peut programmer l’algorithme précédent ou bien dresser un tableau donnant une valeur approchée des premiers termes de la suite (un).

u1211937 et u1311952, donc :

u12<11950 et u13>11950.

Le parc automobile comptera pour la première fois au moins 11 950 voitures 13 ans après 2015, c’est-à-dire en 2028.

c) Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

On cherche n tel que un11950.

120002000×0,75n119502000×0,75n500,75n<5200.

5200=0,025, donc :

120002000×0,75n119500,75n<0,025.

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur ]0;+[ ; l’ordre est conservé, on obtient :

nln(0,75)ln(0,025).

ln(0,75)<0 car 0,75<1, donc l’inéquation équivaut à :

nln(0,025)ln(0,75) .

Or ln(0,025)ln(0,75) 12,82, donc, puisque n est un entier naturel, l’inéquation équivaut à n13.

Au bout de 13 ans, c’est-à-dire le 1er mars 2028, le parc automobile du loueur comptera au moins 11 950 voitures.