▶ 1. Justifier un protocole chimique

Le sujet indique que l’hydrolyse du saccharose s’effectue en milieu acide : « le saccharose subit, en milieu acide, une hydrolyse… » Pour obtenir cette réaction il est donc nécessaire de se placer à un pH inférieur à 7. La solution tampon de pH 2,5 permet de maintenir cette propriété.

▶ 2. Critiquer un protocole

La problématique de cet exercice est de déterminer le pourcentage de saccharose restant lorsque la DDM est atteinte, or celle-ci est de trois mois. D’après la figure 1, l’expérience ne dure que 1 800 heures, soit 75 jours, donc pas assez longtemps pour répondre directement à la problématique, qui est de « déterminer le pourcentage de saccharose restant dans la boisson lorsque la DDM est atteinte ».

▶ 3. Donner la définition d’une vitesse volumique de disparition

Par définition, la vitesse volumique de disparition est : $v=-\frac{d\left[S\right]}{dt}$.

▶ 4. Utiliser des résultats expérimentaux

La vitesse volumique de disparition du saccharose est l’opposée de la dérivée de sa concentration, or la courbe de la figure 1 représente cette concentration en fonction du temps. Il faut donc déterminer la pente de la tangente à cette courbe en un point. Concrètement, il suffit de tracer la tangente à la courbe à l’instant souhaité, puis de calculer l’opposé de la pente (le coefficient directeur) de cette droite.

Plaçons-nous, par exemple, à t = 800 h. On trace la tangente (en bleu). On peut ensuite déterminer sa pente a en estimant les coordonnées de deux de ses points (que l’on choisit les plus éloignés possible pour augmenter la précision).

Ici :

a = $\frac{y_{\text{A}}-y_{\text{B}}}{x_{\text{A}}-x_{\text{B}}}=\frac{\mathrm{0,022}-\mathrm{0,004}}{0-1800}=-1\times {10}^{-5}$ mol · L^–1· h^–1.

La vitesse volumique de disparition du saccharose est donc d’environ $1 \times {10}^{-5}$ mol · L^–1 · h^–1 à 800 heures (un peu plus d’un mois).

▶ 5. Connaître la loi de vitesse d’ordre 1

En cinétique, une loi de vitesse d’ordre 1 est caractérisée par la relation : v = k × [S]. Cela signifie que la vitesse de disparition du saccharose v est proportionnelle à sa concentration [S].

▶ 6. Exploiter un graphique expérimental en cinétique chimique

Le graphique proposé permet d’étudier la relation qui existe entre la vitesse volumique de disparition du saccharose et sa concentration. Or celle-ci semble linéaire. En effet, le tracé d’une droite passant par l’origine au mieux de tous les points expérimentaux donne un résultat « visuellement satisfaisant » : les points sont quasiment tous alignés donc appartenant à une droite d’équation v = k × [S].

Ces mesures semblent donc confirmer une loi de vitesse d’ordre 1.

▶ 7. Calculer une constante de vitesse

k est égal au coefficient directeur de la droite entre les deux grandeurs du graphique.

Ici, $\begin{array}{c}k=\frac{v}{\left[\text{s}\right]}=\frac{\mathrm{1,6} \times {10}^{-5}}{\text{ 0,022}}\\ =\mathrm{7,3} \times {10}^{-4}{\text{h}}^{-1}\end{array}$.

Ce résultat est conforme à celui proposé dans l’énoncé.

▶ 8. Retrouver la relation donnant le temps de demi-réaction

Par définition, on a : [S](t_1/2) = $\frac{{\left[\text{S}\right]}_0}{2}$ ce qui nous permet d’écrire avec la loi de vitesse donnée dans l’énoncé :

$\frac{{\left[\text{S}\right]}_0}{2}={\left[\text{S}\right]}_0\times {\text{e}}^{-k{t}_{1/2}}$ d’où ${\text{e}}^{-k{t}_{1/2}}=\frac{1}{2}$ donc $-k{t}_{1/2}=\text{ln}\left(\frac{1}{2}\right)$.

On obtient alors $t_{1/2}=-\frac{1}{k}\ln \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\text{ln}\left(2\right)}{k}$ : le temps de demi-réaction est bien indépendant de la concentration initiale en saccharose ${\left[\text{S}\right]}_0$.

▶ 9. Calculer un temps de demi-réaction

1^re méthode : par calcul. On a k = $\frac{\mathrm{1,6} \times {10}^{-5}}{\text{ 0,022}}=\mathrm{7,3} \times {10}^{-4}$ h^–1 et $t_{1/2}=\frac{\text{ln}\left(2\right)}{k}$ donc $t_{1/2}=\frac{\text{ln}\left(2\right)}{\mathrm{7,3} \times {10}^{-4}}=$ 950 h.

2^de méthode : directement à partir du graphique. Le temps de demi-réaction est la durée au bout de laquelle la concentration en saccharose a été diminuée de moitié. Par lecture graphique de la figure 1, il faut donc déterminer la durée au bout de laquelle cette concentration est égale à 1,25 × 10^–2 mol · L^–1. Cette durée est 950 heures.

▶ 10. Déterminer une grandeur par extrapolation linéaire

Trois mois correspondent à 92 jours maximum, c’est-à-dire à 2 208 heures.

Or nous connaissons la loi d’évolution de la concentration du saccharose dans la boisson :

[S](t) = [S]₀  ×  e^–kt avec [S]₀ = 0,025 mol · L^–1 et k = 7,3  ×  10⁻⁴ h⁻¹.

Au bout de trois mois, nous avons donc une concentration de saccharose égale à :

[S](t = 2 208) = $\mathrm{0,025}\times {\text{e}}^{-\mathrm{7,3}\times {10}^{-4}\times 2208}=$ 5,0 × 10^–3 mol · L^–1_.

Par rapport au saccharose initialement présent dans la boisson, le pourcentage restant lorsque la DDM est atteinte est donc de :

$\frac{\text{concentration restante }}{\text{concentration initiale}}=\frac{\mathrm{5,0}\times {10}^{-3}}{\mathrm{0,025}}=\mathrm{0,2}=20\text{ \%}$.