Exploiter les données d’un tableau de variations

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Exploiter les données d’un tableau de variations

Intégration

Corrigé

21

Ens. spécifique

matT_1200_00_45C

Sujet inédit

Exercice • 3,5 points

On considère une fonction dérivable sur l’intervalle .

On donne le tableau de ses variations :


Soit la fonction définie sur par .

> 1. Interpréter graphiquement . (0,5 point)

> 2. Montrer que . (0,5 point)

> 3. Soit un réel supérieur à 3.

a) Montrer que . (0,75 point)

b) En déduire que . (0,25 point)

> 4. Déterminer la limite de la fonction en . (0,5 point)

>5.a) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle . (0,5 point)

b) Que vaut  ?

En déduire le signe de sur l’intervalle . (0,5 point)

Durée conseillée : 30 min.

Le thème en jeu

Calcul intégral.

Les conseils du correcteur

>  1. Pour commencer, remarquez que pour . Pour interpréter graphiquement l’intégrale référez-vous à la fiche  C27 .

>  2. Remarquez à l’aide du tableau de variation que pour .

>  3. a) Minorez sur l’intervalle pour supérieur à 3 et intégrez l’inégalité obtenue. → fiche  C29 A 

b) Décomposez en deux intégrales en utilisant la relation de Chasles. → fiche  C29 B 

>  4. Pour calculer la limite utilisez le théorème de comparaison.

>  5. a) N’oubliez pas que .

Pour cela, revoyez l’incontournable fiche  C30 

b) Utilisez les variations de la fonction g établies précédemment.

Corrigé

>1. Interpréter géométriquement une intégrale

Par définition, et d’après le tableau de variation de la fonction , pour tout .

Donc est l’aire de la surface comprise entre les droites d’équations et , l’axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction .

>2. Encadrer une intégrale à l’aide d’un tableau de variation

D’après le tableau de variation de la fonction , on a pour tout , puis .

Or donc .

>3.a) Minorer une intégrale à l’aide d’un tableau de variation

Soit un réel supérieur à 3 que l’on fixe pour considérer l’intervalle . D’après le tableau de variation de la fonction , pour tout . Donc en intégrant l’inégalité sur l’intervalle , on a

b) Minorer une intégrale

D’après la relation de Chasles,

.

Or d’après le 2., , donc puis d’après le 3. a).

>4. Déterminer une limite de fonction à l’aide de comparaisons

donc d’après le théorème de comparaison,

>5.a) Étudier le sens de variation d’une fonction

  • Par définition , donc la fonction est dérivable sur et pour tout , .
  • D’après le tableau de variation de la fonction , pour , et pour , .
  • La fonction g est donc strictement décroissante sur et strictement croissante sur .

b) Déterminer le signe d’une fonction

Par définition .

D’après les variations de la fonction déterminées au 5. a), , pour tout réel x.