Intégration
matT_1405_09_02C
Ens. spécifique
19
CORRIGE
Liban • Mai 2014
Exercice 3 • 5 points
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0
Partie A
Pour tout réel x de l'intervalle [0 . En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [0
Partie B
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0
admet une unique solution sur l'intervalle [0
représentant la fonction .
Sur ce graphique, identifier les courbes et , puis tracer la droite d'équation
. En déduire une valeur approchée du réel α.
Hachurer le domaine correspondant à (α).

Représentations graphiques des fonctions f et
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Calcul intégral • Continuité.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Dérivation
E6 c • E6 e • E6 f → Partie A, 1. Partie B, 4. a) - Limite et fonction exponentielle
E8 c → Partie A, 2. - Primitive et intégrale
E12 • E13 • E14 → Partie B, 1., 3. b) et 4. b) - Continuité et résolution d'équation
E7 c → Partie B, 3. a)
Nos coups de pouce
Partie B
sur l'intervalle
. Pensez alors à la notion de limite pour traduire cette information à l'aide de la fonction
.
sur l'intervalle considéré.
partie a
> 1. Étudier les variations d'une fonction
Pour tout réel de l'intervalle
:
Sur ,
, donc le signe de
est celui de
.
> 2. Déterminer la limite d'une fonction
Notez bien
Limite par croissances comparées à connaître.
Or donc, par passage à l'inverse,
partie b
> 1. Étudier les variations d'une fonction
La fonction est dérivable donc continue sur
. Construisons le tableau de variations de la fonction
:

De plus, d'après la question précédente,
On constate ainsi que la fonction est positive sur
.
Pour tout réel de l'intervalle
, on a donc :
La fonction est donc la primitive de
sur
qui s'annule pour
.
> 2. Faire le lien entre une aire et une limite
Comme l'aire du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses est égale à une unité d'aire, cela signifie que .
> 3. a) Justifier l'existence et l'unicité de la solution d'une équation
La fonction est dérivable donc continue sur
.
D'après la question est strictement croissante sur
On sait de plus que la limite de la fonction en
est égale à 1.
On a aussi On observe finalement que
.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut donc conclure que .
b) Identifier des courbes et la solution d'une équation sur un graphique
D'après la question est strictement croissante sur
La courbe est donc la courbe en pointillés. La courbe
est celle en trait plein.
Le réel est l'abscisse du point d'intersection de la courbe
et de la droite d'équation
.

> 4. a) Calculer la dérivée d'une fonction
La fonction est un produit de fonctions dérivables sur
donc
est dérivable sur
.
Pour tout réel de l'intervalle
:
On peut donc dire que est une primitive de
sur l'intervalle
.