Corpus Corpus 1

Exponentielle et calcul d'aires

Intégration

matT_1405_09_02C

Ens. spécifique

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 3 • 5 points

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 + ∞[ par f (x) =x e^–x. On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

Partie A

>1. On note la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 + ∞[.

Pour tout réel x de l'intervalle [0 + ∞[, calculer . En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 + ∞[.

>2. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?

Partie B

Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 + ∞[ de la façon suivante : pour tout réel t de l'intervalle [0 + ∞[, (t) est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations x = 0 et x =t.

>1. Déterminer le sens de variation de la fonction .

>2. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction ?

>3. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel α tel que la droite d'équation x =α partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe , en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.

a) Démontrer que l'équation (t) = admet une unique solution sur l'intervalle [0 + ∞[.

b) Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe , ainsi que la courbe représentant la fonction .

Sur ce graphique, identifier les courbes et , puis tracer la droite d'équation . En déduire une valeur approchée du réel α.

Hachurer le domaine correspondant à (α).

Représentations graphiques des fonctions f et

>4. On définit la fonction sur l'intervalle [0 + ∞[ par :

g(x) = (x + 1) e^–^x.

a) On note la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle [0 + ∞[.

Pour tout réel x de l'intervalle [0 + ∞[, calculer .

b) En déduire, pour tout réel t de l'intervalle [0 + ∞[, une expression de (t).

c) Calculer une valeur approchée à 10^–2 près de (6).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Calcul intégral • Continuité.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 1. Partie B, 4. a)
Limite et fonction exponentielle E8c → Partie A, 2.
Primitive et intégrale E12 • E13 • E14 → Partie B, 1., 3. b) et 4. b)
Continuité et résolution d'équation E7c → Partie B, 3. a)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Traduisez, à l'aide d'une intégrale, l'aire indiquée et identifiez ainsi une intégrale dépendant de sa borne supérieure pour la dérivation de l'expression obtenue.

>2. L'aire proposée est l'aire, en unités d'aire, sous la courbe sur l'intervalle . Pensez alors à la notion de limite pour traduire cette information à l'aide de la fonction .

>3. a) Pensez à la généralisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires aux intervalles non bornés. N'oubliez pas de justifier la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.