Exponentielle et calcul d’aires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Exponentielle et calcul d’aires

Intégration

matT_1405_09_02C

Ens. spécifique

19

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 3 • 5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0  +  &infin [ par f  (x)  =x&thinsp e&ndash x. On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

Partie A

>1. On note la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0    +  &infin [.

Pour tout réel x de l’intervalle [0  +  &infin [, calculer . En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0  +  &infin [.

>2. Déterminer la limite de la fonction f en +  &infin . Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat  ?

Partie B

Soit la fonction définie sur l’intervalle [0  +  &infin [ de la façon suivante  : pour tout réel t de l’intervalle [0  +  &infin [, (t) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équations x  = 0 et x  =t.

>1. Déterminer le sens de variation de la fonction .

>2. On admet que l’aire du domaine délimité par la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1  unité d’aire. Que peut-on en déduire pour la fonction   ?

>3. On cherche à prouver l’existence d’un nombre réel &alpha tel que la droite d’équation x  =&alpha partage le domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe , en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.

a) Démontrer que l’équation (t)  = admet une unique solution sur l’intervalle [0  +  &infin [.

b) Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe , ainsi que la courbe représentant la fonction .

Sur ce graphique, identifier les courbes et , puis tracer la droite d’équation . En déduire une valeur approchée du réel &alpha .

Hachurer le domaine correspondant à (&alpha ).


Représentations graphiques des fonctions f et

>4. On définit la fonction sur l’intervalle [0  +  &infin [ par  :

g(x)  = (x +  1) e&ndash x.

a) On note la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0  +  &infin [.

Pour tout réel x de l’intervalle [0  +  &infin [, calculer .

b) En déduire, pour tout réel t de l’intervalle [0  +  &infin [, une expression de (t).

c) Calculer une valeur approchée à 10&ndash 2 près de (6).

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Calcul intégral • Continuité.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Dérivation   E6c • E6e • E6f  → Partie A, 1.  Partie B, 4. a)
  • Limite et fonction exponentielle   E8c  → Partie A, 2.
  • Primitive et intégrale   E12 • E13 • E14  → Partie B, 1., 3. b) et 4. b)
  • Continuité et résolution d’équation   E7c  → Partie B, 3. a)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Traduisez, à l’aide d’une intégrale, l’aire indiquée et identifiez ainsi une intégrale dépendant de sa borne supérieure pour la dérivation de l’expression obtenue.

>2. L’aire proposée est l’aire, en unités d’aire, sous la courbe sur l’intervalle . Pensez alors à la notion de limite pour traduire cette information à l’aide de la fonction .

>3. a) Pensez à la généralisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires aux intervalles non bornés. N’oubliez pas de justifier la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.