Intégration
matT_1405_09_02C
Ens. spécifique
19
CORRIGE
Liban • Mai 2014
Exercice 3 • 5 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ;
Partie A
la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ;
Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 
. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ;
Partie B
Soit 𝒜 la fonction définie sur l’intervalle [0 ;
admet une unique solution sur l’intervalle [0 ;
représentant la fonction 𝒜.
Sur ce graphique, identifier les courbes 𝒞 et 
, puis tracer la droite d’équation 
. En déduire une valeur approchée du réel α.
Hachurer le domaine correspondant à 𝒜(α).
Représentations graphiques des fonctions f et
sur l’intervalle [0 ;
g(x)
la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0 ;
Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 
.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Calcul intégral • Continuité.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
- Dérivation
E6 c • E6 e • E6 f → Partie A, 1. ; Partie B, 4. a) - Limite et fonction exponentielle
E8 c → Partie A, 2. - Primitive et intégrale
E12 • E13 • E14 → Partie B, 1., 3. b) et 4. b) - Continuité et résolution d’équation
E7 c → Partie B, 3. a)
Nos coups de pouce
Partie B
sur l’intervalle 
. Pensez alors à la notion de limite pour traduire cette information à l’aide de la fonction 
.
sur l’intervalle considéré.
partie a
> 1. Étudier les variations d’une fonction
La fonction 
est un produit de fonctions dérivables sur 
donc 
est dérivable sur 
.
Notez bien
.
Pour tout réel 
de l’intervalle 
:
.
Sur 
, 
, donc le signe de 
est celui de 
.
.
Si 
, alors 
donc 
.
Si 
, alors 
donc 
.
> 2. Déterminer la limite d’une fonction
Pour tout réel 
de l’intervalle 
: 
.
Notez bien
Limite par croissances comparées à connaître.
Or 
donc, par passage à l’inverse,
partie b
> 1. Étudier les variations d’une fonction
La fonction 
est dérivable donc continue sur 
. Construisons le tableau de variations de la fonction 
:
et 
.
De plus, d’après la question précédente, 
On constate ainsi que la fonction 
est positive sur 
.
Pour tout réel 
de l’intervalle 
, on a donc : 
La fonction 
est donc la primitive de 
sur 
qui s’annule pour 
.
Ainsi, pour tout réel 
de l’intervalle 
, 
> 2. Faire le lien entre une aire et une limite
Comme l’aire du domaine délimité par la courbe et l’axe des abscisses est égale à une unité d’aire, cela signifie que 
.
> 3. a) Justifier l’existence et l’unicité de la solution d’une équation
La fonction 
est dérivable donc continue sur 
.
D’après la question 
est strictement croissante sur 
On sait de plus que la limite de la fonction 
en 
est égale à 1.
On a aussi 
On observe finalement que 
.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut donc conclure que 
.
b) Identifier des courbes et la solution d’une équation sur un graphique
D’après la question 
est strictement croissante sur 
La courbe 
est donc la courbe en pointillés. La courbe 
est celle en trait plein.
Le réel 
est l’abscisse du point d’intersection de la courbe 
et de la droite d’équation 
.
On a, d’après le graphique, 
.
> 4. a) Calculer la dérivée d’une fonction
La fonction 
est un produit de fonctions dérivables sur 
donc 
est dérivable sur 
.
Pour tout réel 
de l’intervalle 
:
.
On peut donc dire que 
est une primitive de 
sur l’intervalle 
.
b) Calculer une intégrale
Notez bien
Si 
est une primitive de 
sur 
: 
.
Pour tout réel 
de l’intervalle 
:
c) Déterminer une valeur approchée de l’aire sous une courbe sur un intervalle
