Exponentielle et calcul d’aires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Exponentielle et calcul d’aires

Intégration

matT_1405_09_02C

Ens. spécifique

19

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 3 • 5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par f (x) =x e–x. On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

Partie A

>1. On note la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; + ∞[, calculer . En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

>2. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?

Partie B

Soit 𝒜 la fonction définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ de la façon suivante : pour tout réel t de l’intervalle [0 ; + ∞[, 𝒜(t) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 𝒞 et les droites d’équations x= 0 et x=t.

>1. Déterminer le sens de variation de la fonction 𝒜.

>2. On admet que l’aire du domaine délimité par la courbe 𝒞 et l’axe des abscisses est égale à 1 unité d’aire. Que peut-on en déduire pour la fonction 𝒜 ?

>3. On cherche à prouver l’existence d’un nombre réel α tel que la droite d’équation x=α partage le domaine compris entre l’axe des abscisses et la courbe 𝒞, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.

a) Démontrer que l’équation 𝒜(t) = admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

b) Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe 𝒞, ainsi que la courbe représentant la fonction 𝒜.

Sur ce graphique, identifier les courbes 𝒞 et , puis tracer la droite d’équation . En déduire une valeur approchée du réel α.

Hachurer le domaine correspondant à 𝒜(α).


Représentations graphiques des fonctions f et 𝒜

>4. On définit la fonction sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par :

g(x) = (x + 1) ex.

a) On note la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; + ∞[, calculer .

b) En déduire, pour tout réel t de l’intervalle [0 ; + ∞[, une expression de 𝒜(t).

c) Calculer une valeur approchée à 10–2 près de 𝒜(6).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Calcul intégral • Continuité.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Dérivation  E6c • E6e • E6f  → Partie A, 1. ; Partie B, 4. a)
  • Limite et fonction exponentielle  E8c  → Partie A, 2.
  • Primitive et intégrale  E12 • E13 • E14 Partie B, 1., 3. b) et 4. b)
  • Continuité et résolution d’équation  E7c  → Partie B, 3. a)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Traduisez, à l’aide d’une intégrale, l’aire indiquée et identifiez ainsi une intégrale dépendant de sa borne supérieure pour la dérivation de l’expression obtenue.

>2. L’aire proposée est l’aire, en unités d’aire, sous la courbe sur l’intervalle . Pensez alors à la notion de limite pour traduire cette information à l’aide de la fonction .

>3. a) Pensez à la généralisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires aux intervalles non bornés. N’oubliez pas de justifier la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. Étudier les variations d’une fonction

La fonction est un produit de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur .

Notez bien

.

Pour tout réel de l’intervalle  :

.

Sur , , donc le signe de est celui de .

.

Si , alors donc est strictement croissante sur.

Si , alors donc est strictement décroissante sur.

>2. Déterminer la limite d’une fonction

Pour tout réel de l’intervalle  : .

Notez bien

Limite par croissances comparées à connaître.

Or donc, par passage à l’inverse,

La courbeadmet donc pour asymptote la droite d’équation, c’est-à-dire l’axe des abscisses.

partie b

>1. Étudier les variations d’une fonction

La fonction est dérivable donc continue sur . Construisons le tableau de variations de la fonction :


et .

De plus, d’après la question précédente,

On constate ainsi que la fonction est positive sur .

Pour tout réel de l’intervalle , on a donc :

La fonction est donc la primitive de sur qui s’annule pour .

Ainsi, pour tout réel de l’intervalle ,

La fonctionest donc strictement croissante sur

>2. Faire le lien entre une aire et une limite

Comme l’aire du domaine délimité par la courbe et l’axe des abscisses est égale à une unité d’aire, cela signifie que .

La limite de la fonctionenest donc égale à 1.

>3. a) Justifier l’existence et l’unicité de la solution d’une équation

La fonction est dérivable donc continue sur .

D’après la question 1. de la partie B, la fonction est strictement croissante sur

On sait de plus que la limite de la fonction en est égale à 1.

On a aussi On observe finalement que .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut donc conclure que l’équationadmet une unique solution sur l’intervalle.

b) Identifier des courbes et la solution d’une équation sur un graphique

D’après la question 1. de la partie B, la fonction est strictement croissante sur

La courbe est donc la courbe en pointillés. La courbe est celle en trait plein.

Le réel est l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite d’équation .


On a, d’après le graphique, .

>4. a) Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction est un produit de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur .

Pour tout réel de l’intervalle  :

.

On peut donc dire que est une primitive de sur l’intervalle .

b) Calculer une intégrale

Notez bien

Si est une primitive de sur  : .

Pour tout réel de l’intervalle  :

c) Déterminer une valeur approchée de l’aire sous une courbe sur un intervalle

u.a.